Cálculo Exemplos

$f (x) = - \frac{1}{5} x^{5} - 3 x^{4} - 12 x^{3}$

Etapa 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- \frac{1}{5} x^{5} - 3 x^{4} - 12 x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Etapa 1.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{5}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

Como $- \frac{1}{5}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{1}{5} x^{5}$ em relação a $x$ é $- \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$- \frac{1}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Etapa 1.1.1.2.3

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$- 5 (\frac{1}{5}) x^{4} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Etapa 1.1.1.2.4

Combine $- 5$ e $\frac{1}{5}$ .

$\frac{- 5}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Etapa 1.1.1.2.5

Combine $\frac{- 5}{5}$ e $x^{4}$ .

$\frac{- 5 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Etapa 1.1.1.2.6

Cancele o fator comum de $- 5$ e $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.6.1

Fatore $5$ de $- 5 x^{4}$ .

$\frac{5 (- x^{4})}{5} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Etapa 1.1.1.2.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.6.2.1

Fatore $5$ de $5$ .

$\frac{5 (- x^{4})}{5 (1)} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Etapa 1.1.1.2.6.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{5 (- x^{4})}{5 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Etapa 1.1.1.2.6.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- x^{4}}{1} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Etapa 1.1.1.2.6.2.4

Divida $- x^{4}$ por $1$ .

$- x^{4} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Etapa 1.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x^{4}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- x^{4} - 3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Etapa 1.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$- x^{4} - 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Etapa 1.1.1.3.3

Multiplique $4$ por $- 3$ .

$- x^{4} - 12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Etapa 1.1.1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.4.1

Como $- 12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 12 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- x^{4} - 12 x^{3} - 12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 1.1.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$- x^{4} - 12 x^{3} - 12 (3 x^{2})$

Etapa 1.1.1.4.3

Multiplique $3$ por $- 12$ .

$f' (x) = - x^{4} - 12 x^{3} - 36 x^{2}$

Etapa 1.1.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- x^{4} - 12 x^{3} - 36 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Etapa 1.1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{4}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Etapa 1.1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$- (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Etapa 1.1.2.2.3

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$- 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Etapa 1.1.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1

Como $- 12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 12 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 4 x^{3} - 12 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Etapa 1.1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$- 4 x^{3} - 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Etapa 1.1.2.3.3

Multiplique $3$ por $- 12$ .

$- 4 x^{3} - 36 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Etapa 1.1.2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$ .

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Etapa 1.1.2.4.1

Como $- 36$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 36 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 4 x^{3} - 36 x^{2} - 36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 4 x^{3} - 36 x^{2} - 36 (2 x)$

Etapa 1.1.2.4.3

Multiplique $2$ por $- 36$ .

$f'' (x) = - 4 x^{3} - 36 x^{2} - 72 x$

Etapa 1.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 4 x^{3} - 36 x^{2} - 72 x$ .

$- 4 x^{3} - 36 x^{2} - 72 x$

Etapa 1.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 4 x^{3} - 36 x^{2} - 72 x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$- 4 x^{3} - 36 x^{2} - 72 x = 0$

Etapa 1.2.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Fatore $- 4 x$ de $- 4 x^{3} - 36 x^{2} - 72 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1.1

Fatore $- 4 x$ de $- 4 x^{3}$ .

$- 4 x \cdot x^{2} - 36 x^{2} - 72 x = 0$

Etapa 1.2.2.1.2

Fatore $- 4 x$ de $- 36 x^{2}$ .

$- 4 x \cdot x^{2} - 4 x (9 x) - 72 x = 0$

Etapa 1.2.2.1.3

Fatore $- 4 x$ de $- 72 x$ .

$- 4 x \cdot x^{2} - 4 x (9 x) - 4 x \cdot 18 = 0$

Etapa 1.2.2.1.4

Fatore $- 4 x$ de $- 4 x (x^{2}) - 4 x (9 x)$ .

$- 4 x (x^{2} + 9 x) - 4 x \cdot 18 = 0$

Etapa 1.2.2.1.5

Fatore $- 4 x$ de $- 4 x (x^{2} + 9 x) - 4 x (18)$ .

$- 4 x (x^{2} + 9 x + 18) = 0$

Etapa 1.2.2.2

Fatore.

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Etapa 1.2.2.2.1

Fatore $x^{2} + 9 x + 18$ usando o método AC.

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Etapa 1.2.2.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $18$ e cuja soma é $9$ .

$3, 6$

Etapa 1.2.2.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$- 4 x ((x + 3) (x + 6)) = 0$

Etapa 1.2.2.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- 4 x (x + 3) (x + 6) = 0$

Etapa 1.2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x + 3 = 0$

$x + 6 = 0$

Etapa 1.2.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 1.2.5

Defina $x + 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 1.2.5.1

Defina $x + 3$ como igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Etapa 1.2.5.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 1.2.6

Defina $x + 6$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 1.2.6.1

Defina $x + 6$ como igual a $0$ .

$x + 6 = 0$

Etapa 1.2.6.2

Subtraia $6$ dos dois lados da equação.

$x = - 6$

Etapa 1.2.7

A solução final são todos os valores que tornam $- 4 x (x + 3) (x + 6) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, - 3, - 6$

Etapa 2

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 3

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(- \infty, - 6) \cup (- 6, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 4

Substitua qualquer número do intervalo $(- \infty, - 6)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $- 8$ na expressão.

$f'' (- 8) = - 4 {(- 8)}^{3} - 36 {(- 8)}^{2} - 72 \cdot - 8$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.1

Eleve $- 8$ à potência de $3$ .

$f'' (- 8) = - 4 \cdot - 512 - 36 {(- 8)}^{2} - 72 \cdot - 8$

Etapa 4.2.1.2

Multiplique $- 4$ por $- 512$ .

$f'' (- 8) = 2048 - 36 {(- 8)}^{2} - 72 \cdot - 8$

Etapa 4.2.1.3

Eleve $- 8$ à potência de $2$ .

$f'' (- 8) = 2048 - 36 \cdot 64 - 72 \cdot - 8$

Etapa 4.2.1.4

Multiplique $- 36$ por $64$ .

$f'' (- 8) = 2048 - 2304 - 72 \cdot - 8$

Etapa 4.2.1.5

Multiplique $- 72$ por $- 8$ .

$f'' (- 8) = 2048 - 2304 + 576$

Etapa 4.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 4.2.2.1

Subtraia $2304$ de $2048$ .

$f'' (- 8) = - 256 + 576$

Etapa 4.2.2.2

Some $- 256$ e $576$ .

$f'' (- 8) = 320$

Etapa 4.2.3

A resposta final é $320$ .

$320$

Etapa 4.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(- \infty, - 6)$ porque $f'' (- 8)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(- \infty, - 6)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 5

Substitua qualquer número do intervalo $(- 6, - 3)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 4$ na expressão.

$f'' (- 4) = - 4 {(- 4)}^{3} - 36 {(- 4)}^{2} - 72 \cdot - 4$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Multiplique $- 4$ por ${(- 4)}^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 5.2.1.1.1

Multiplique $- 4$ por ${(- 4)}^{3}$ .

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Etapa 5.2.1.1.1.1

Eleve $- 4$ à potência de $1$ .

$f'' (- 4) = (- 4) {(- 4)}^{3} - 36 {(- 4)}^{2} - 72 \cdot - 4$

Etapa 5.2.1.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (- 4) = {(- 4)}^{1 + 3} - 36 {(- 4)}^{2} - 72 \cdot - 4$

Etapa 5.2.1.1.2

Some $1$ e $3$ .

$f'' (- 4) = {(- 4)}^{4} - 36 {(- 4)}^{2} - 72 \cdot - 4$

Etapa 5.2.1.2

Eleve $- 4$ à potência de $4$ .

$f'' (- 4) = 256 - 36 {(- 4)}^{2} - 72 \cdot - 4$

Etapa 5.2.1.3

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$f'' (- 4) = 256 - 36 \cdot 16 - 72 \cdot - 4$

Etapa 5.2.1.4

Multiplique $- 36$ por $16$ .

$f'' (- 4) = 256 - 576 - 72 \cdot - 4$

Etapa 5.2.1.5

Multiplique $- 72$ por $- 4$ .

$f'' (- 4) = 256 - 576 + 288$

Etapa 5.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Subtraia $576$ de $256$ .

$f'' (- 4) = - 320 + 288$

Etapa 5.2.2.2

Some $- 320$ e $288$ .

$f'' (- 4) = - 32$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $- 32$ .

$- 32$

Etapa 5.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(- 6, - 3)$ porque $f'' (- 4)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(- 6, - 3)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 6

Substitua qualquer número do intervalo $(- 3, 0)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f'' (- 2) = - 4 {(- 2)}^{3} - 36 {(- 2)}^{2} - 72 \cdot - 2$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$f'' (- 2) = - 4 \cdot - 8 - 36 {(- 2)}^{2} - 72 \cdot - 2$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $- 4$ por $- 8$ .

$f'' (- 2) = 32 - 36 {(- 2)}^{2} - 72 \cdot - 2$

Etapa 6.2.1.3

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$f'' (- 2) = 32 - 36 \cdot 4 - 72 \cdot - 2$

Etapa 6.2.1.4

Multiplique $- 36$ por $4$ .

$f'' (- 2) = 32 - 144 - 72 \cdot - 2$

Etapa 6.2.1.5

Multiplique $- 72$ por $- 2$ .

$f'' (- 2) = 32 - 144 + 144$

Etapa 6.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Subtraia $144$ de $32$ .

$f'' (- 2) = - 112 + 144$

Etapa 6.2.2.2

Some $- 112$ e $144$ .

$f'' (- 2) = 32$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $32$ .

$32$

Etapa 6.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(- 3, 0)$ porque $f'' (- 2)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(- 3, 0)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 7

Substitua qualquer número do intervalo $(0, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f'' (2) = - 4 {(2)}^{3} - 36 {(2)}^{2} - 72 \cdot 2$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f'' (2) = - 4 \cdot 8 - 36 {(2)}^{2} - 72 \cdot 2$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $- 4$ por $8$ .

$f'' (2) = - 32 - 36 {(2)}^{2} - 72 \cdot 2$

Etapa 7.2.1.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f'' (2) = - 32 - 36 \cdot 4 - 72 \cdot 2$

Etapa 7.2.1.4

Multiplique $- 36$ por $4$ .

$f'' (2) = - 32 - 144 - 72 \cdot 2$

Etapa 7.2.1.5

Multiplique $- 72$ por $2$ .

$f'' (2) = - 32 - 144 - 144$

Etapa 7.2.2

Simplifique subtraindo os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Subtraia $144$ de $- 32$ .

$f'' (2) = - 176 - 144$

Etapa 7.2.2.2

Subtraia $144$ de $- 176$ .

$f'' (2) = - 320$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $- 320$ .

$- 320$

Etapa 7.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(0, \infty)$ porque $f'' (2)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(0, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 8

O gráfico tem concavidade para baixo quando a segunda derivada é negativa e concavidade para cima quando a segunda derivada é positiva.

Concavidade para cima em $(- \infty, - 6)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Concavidade para baixo em $(- 6, - 3)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Concavidade para cima em $(- 3, 0)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Concavidade para baixo em $(0, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 9