Cálculo Exemplos

$lim_{x \to π} \frac{x + π \sec (x)}{x^{2} - π^{2}}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to π} x + π \sec (x)}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $π$ .

$\frac{lim_{x \to π} x + lim_{x \to π} π \sec (x)}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

Etapa 1.1.2.2

Mova o termo $π$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{lim_{x \to π} x + π lim_{x \to π} \sec (x)}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

Etapa 1.1.2.3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois a secante é contínua.

$\frac{lim_{x \to π} x + π \sec (lim_{x \to π} x)}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

Etapa 1.1.2.4

Avalie os limites substituindo $π$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.1.2.4.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $π$ por $x$ .

$\frac{π + π \sec (lim_{x \to π} x)}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

Etapa 1.1.2.4.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $π$ por $x$ .

$\frac{π + π \sec (π)}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

Etapa 1.1.2.5

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.2.5.1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois a secante é negativa no segundo quadrante.

$\frac{π + π (- \sec (0))}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

Etapa 1.1.2.5.1.2

O valor exato de $\sec (0)$ é $1$ .

$\frac{π + π (- 1 \cdot 1)}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

Etapa 1.1.2.5.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{π + π \cdot - 1}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

Etapa 1.1.2.5.1.4

Mova $- 1$ para a esquerda de $π$ .

$\frac{π - 1 \cdot π}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

Etapa 1.1.2.5.1.5

Reescreva $- 1 π$ como $- π$ .

$\frac{π - π}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

Etapa 1.1.2.5.2

Subtraia $π$ de $π$ .

$\frac{0}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $π$ .

$\frac{0}{lim_{x \to π} x^{2} - lim_{x \to π} π^{2}}$

Etapa 1.1.3.1.2

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{{(lim_{x \to π} x)}^{2} - lim_{x \to π} π^{2}}$

Etapa 1.1.3.1.3

Avalie o limite de $π^{2}$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $π$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to π} x)}^{2} - π^{2}}$

Etapa 1.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $π$ por $x$ .

$\frac{0}{π^{2} - π^{2}}$

Etapa 1.1.3.3

Subtraia $π^{2}$ de $π^{2}$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to π} \frac{x + π \sec (x)}{x^{2} - π^{2}} = lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d x} [x + π \sec (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - π^{2}]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d x} [x + π \sec (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - π^{2}]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + π \sec (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [π \sec (x)]$ .

$lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [π \sec (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - π^{2}]}$

Etapa 1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to π} \frac{1 + \frac{d}{d x} [π \sec (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - π^{2}]}$

Etapa 1.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [π \sec (x)]$ .

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Etapa 1.3.4.1

Como $π$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $π \sec (x)$ em relação a $x$ é $π \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ .

$lim_{x \to π} \frac{1 + π \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - π^{2}]}$

Etapa 1.3.4.2

A derivada de $\sec (x)$ em relação a $x$ é $\sec (x) \tan (x)$ .

$lim_{x \to π} \frac{1 + π \sec (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} - π^{2}]}$

Etapa 1.3.5

Reordene os termos.

$lim_{x \to π} \frac{π \sec (x) \tan (x) + 1}{\frac{d}{d x} [x^{2} - π^{2}]}$

Etapa 1.3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - π^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- π^{2}]$ .

$lim_{x \to π} \frac{π \sec (x) \tan (x) + 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- π^{2}]}$

Etapa 1.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to π} \frac{π \sec (x) \tan (x) + 1}{2 x + \frac{d}{d x} [- π^{2}]}$

Etapa 1.3.8

Como $- π^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- π^{2}$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to π} \frac{π \sec (x) \tan (x) + 1}{2 x + 0}$

Etapa 1.3.9

Some $2 x$ e $0$ .

$lim_{x \to π} \frac{π \sec (x) \tan (x) + 1}{2 x}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Mova o termo $\frac{1}{2}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to π} \frac{π \sec (x) \tan (x) + 1}{x}$

Etapa 2.2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $π$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to π} π \sec (x) \tan (x) + 1}{lim_{x \to π} x}$

Etapa 2.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $π$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to π} π \sec (x) \tan (x) + lim_{x \to π} 1}{lim_{x \to π} x}$

Etapa 2.4

Mova o termo $π$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π lim_{x \to π} \sec (x) \tan (x) + lim_{x \to π} 1}{lim_{x \to π} x}$

Etapa 2.5

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $π$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π lim_{x \to π} \sec (x) \cdot lim_{x \to π} \tan (x) + lim_{x \to π} 1}{lim_{x \to π} x}$

Etapa 2.6

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois a secante é contínua.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π \sec (lim_{x \to π} x) \cdot lim_{x \to π} \tan (x) + lim_{x \to π} 1}{lim_{x \to π} x}$

Etapa 2.7

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois a tangente é contínua.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π \sec (lim_{x \to π} x) \cdot \tan (lim_{x \to π} x) + lim_{x \to π} 1}{lim_{x \to π} x}$

Etapa 2.8

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $π$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π \sec (lim_{x \to π} x) \cdot \tan (lim_{x \to π} x) + 1}{lim_{x \to π} x}$

Etapa 3

Avalie os limites substituindo $π$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 3.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $π$ por $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π \sec (π) \cdot \tan (lim_{x \to π} x) + 1}{lim_{x \to π} x}$

Etapa 3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $π$ por $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π \sec (π) \cdot \tan (π) + 1}{lim_{x \to π} x}$

Etapa 3.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $π$ por $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π \sec (π) \cdot \tan (π) + 1}{π}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois a secante é negativa no segundo quadrante.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π (- \sec (0)) \cdot \tan (π) + 1}{π}$

Etapa 4.1.2

O valor exato de $\sec (0)$ é $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π (- 1 \cdot 1) \cdot \tan (π) + 1}{π}$

Etapa 4.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π \cdot - 1 \cdot \tan (π) + 1}{π}$

Etapa 4.1.4

Mova $- 1$ para a esquerda de $π$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 \cdot π \cdot \tan (π) + 1}{π}$

Etapa 4.1.5

Reescreva $- 1 π$ como $- π$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- π \cdot \tan (π) + 1}{π}$

Etapa 4.1.6

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois a tangente é negativa no segundo quadrante.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- π \cdot (- \tan (0)) + 1}{π}$

Etapa 4.1.7

O valor exato de $\tan (0)$ é $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- π \cdot (- 0) + 1}{π}$

Etapa 4.1.8

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- π \cdot 0 + 1}{π}$

Etapa 4.1.9

Multiplique $- π \cdot 0$ .

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Etapa 4.1.9.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 π + 1}{π}$

Etapa 4.1.9.2

Multiplique $0$ por $π$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 1}{π}$

Etapa 4.1.10

Some $0$ e $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{π}$

Etapa 4.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{π}$ .

$\frac{1}{2 π}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{1}{2 π}$

Forma decimal:

$0.15915494 \dots$