Cálculo Exemplos

$y = x^{2} \tanh (2 x - 1)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \tanh (2 x - 1)$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\tanh (2 x - 1)] + \tanh (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \tanh (x)$ e $g (x) = 2 x - 1$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x - 1$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [\tanh (u)] \frac{d}{d x} [2 x - 1]) + \tanh (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.2

A derivada de $\tanh (u)$ em relação a $u$ é ${sech}^{2} (u)$ .

$x^{2} ({sech}^{2} (u) \frac{d}{d x} [2 x - 1]) + \tanh (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x - 1$ .

$x^{2} ({sech}^{2} (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]) + \tanh (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$x^{2} ({sech}^{2} (2 x - 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])) + \tanh (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} ({sech}^{2} (2 x - 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])) + \tanh (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x^{2} ({sech}^{2} (2 x - 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])) + \tanh (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$x^{2} ({sech}^{2} (2 x - 1) (2 + \frac{d}{d x} [- 1])) + \tanh (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$x^{2} ({sech}^{2} (2 x - 1) (2 + 0)) + \tanh (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.6.1

Some $2$ e $0$ .

$x^{2} ({sech}^{2} (2 x - 1) \cdot 2) + \tanh (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3.6.2

Mova $2$ para a esquerda de ${sech}^{2} (2 x - 1)$ .

$x^{2} (2 \cdot {sech}^{2} (2 x - 1)) + \tanh (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x^{2} (2 {sech}^{2} (2 x - 1)) + \tanh (2 x - 1) (2 x)$

Etapa 3.8

Reordene os termos.

$2 x^{2} {sech}^{2} (2 x - 1) + 2 x \tanh (2 x - 1)$