Cálculo Exemplos

$\sin (2 x) + 3 \cos (3 x)$

Etapa 1

Escreva $\sin (2 x) + 3 \cos (3 x)$ como uma função.

$f (x) = \sin (2 x) + 3 \cos (3 x)$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \sin (2 x) + 3 \cos (3 x) d x$

Etapa 4

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \sin (2 x) d x + \int 3 \cos (3 x) d x$

Etapa 5

Deixe $u_{1} = 2 x$ . Depois, $d u_{1} = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 5.1

Deixe $u_{1} = 2 x$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 5.1.1

Diferencie $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 5.1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 5.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 5.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \sin (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1} + \int 3 \cos (3 x) d x$

Etapa 6

Combine $\sin (u_{1})$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\sin (u_{1})}{2} d u_{1} + \int 3 \cos (3 x) d x$

Etapa 7

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int \sin (u_{1}) d u_{1} + \int 3 \cos (3 x) d x$

Etapa 8

A integral de $\sin (u_{1})$ com relação a $u_{1}$ é $- \cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \int 3 \cos (3 x) d x$

Etapa 9

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + 3 \int \cos (3 x) d x$

Etapa 10

Deixe $u_{2} = 3 x$ . Depois, $d u_{2} = 3 d x$ , então, $\frac{1}{3} d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 10.1

Deixe $u_{2} = 3 x$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 10.1.1

Diferencie $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Etapa 10.1.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 10.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Etapa 10.1.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$3$

Etapa 10.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + 3 \int \cos (u_{2}) \frac{1}{3} d u_{2}$

Etapa 11

Combine $\cos (u_{2})$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + 3 \int \frac{\cos (u_{2})}{3} d u_{2}$

Etapa 12

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + 3 (\frac{1}{3} \int \cos (u_{2}) d u_{2})$

Etapa 13

Simplifique.

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Etapa 13.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $3$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{3}{3} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

Etapa 13.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 13.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{3}{3} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

Etapa 13.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + 1 \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

Etapa 13.3

Multiplique $\int \cos (u_{2}) d u_{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

Etapa 14

A integral de $\cos (u_{2})$ com relação a $u_{2}$ é $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \sin (u_{2}) + C$

Etapa 15

Simplifique.

$- \frac{\cos (u_{1})}{2} + \sin (u_{2}) + C$

Etapa 16

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 16.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 x$ .

$- \frac{\cos (2 x)}{2} + \sin (u_{2}) + C$

Etapa 16.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $3 x$ .

$- \frac{\cos (2 x)}{2} + \sin (3 x) + C$

Etapa 17

Reordene os termos.

$- \frac{1}{2} \cos (2 x) + \sin (3 x) + C$

Etapa 18

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \sin (2 x) + 3 \cos (3 x)$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{2} \cos (2 x) + \sin (3 x) + C$