Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 3} \frac{5 x^{2} - 45}{\sqrt{5 x + 1} - 4}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 3} 5 x^{2} - 45}{lim_{x \to 3} \sqrt{5 x + 1} - 4}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} 5 x^{2} - lim_{x \to 3} 45}{lim_{x \to 3} \sqrt{5 x + 1} - 4}$

Etapa 1.1.2.1.2

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{5 lim_{x \to 3} x^{2} - lim_{x \to 3} 45}{lim_{x \to 3} \sqrt{5 x + 1} - 4}$

Etapa 1.1.2.1.3

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{5 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - lim_{x \to 3} 45}{lim_{x \to 3} \sqrt{5 x + 1} - 4}$

Etapa 1.1.2.1.4

Avalie o limite de $45$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $3$ .

$\frac{5 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 1 \cdot 45}{lim_{x \to 3} \sqrt{5 x + 1} - 4}$

Etapa 1.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $3$ por $x$ .

$\frac{5 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 45}{lim_{x \to 3} \sqrt{5 x + 1} - 4}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.2.3.1.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\frac{5 \cdot 9 - 1 \cdot 45}{lim_{x \to 3} \sqrt{5 x + 1} - 4}$

Etapa 1.1.2.3.1.2

Multiplique $5$ por $9$ .

$\frac{45 - 1 \cdot 45}{lim_{x \to 3} \sqrt{5 x + 1} - 4}$

Etapa 1.1.2.3.1.3

Multiplique $- 1$ por $45$ .

$\frac{45 - 45}{lim_{x \to 3} \sqrt{5 x + 1} - 4}$

Etapa 1.1.2.3.2

Subtraia $45$ de $45$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} \sqrt{5 x + 1} - 4}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} \sqrt{5 x + 1} - lim_{x \to 3} 4}$

Etapa 1.1.3.1.2

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 3} 5 x + 1} - lim_{x \to 3} 4}$

Etapa 1.1.3.1.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $3$ .

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 3} 5 x + lim_{x \to 3} 1} - lim_{x \to 3} 4}$

Etapa 1.1.3.1.4

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{\sqrt{5 lim_{x \to 3} x + lim_{x \to 3} 1} - lim_{x \to 3} 4}$

Etapa 1.1.3.1.5

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $3$ .

$\frac{0}{\sqrt{5 lim_{x \to 3} x + 1} - lim_{x \to 3} 4}$

Etapa 1.1.3.1.6

Avalie o limite de $4$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $3$ .

$\frac{0}{\sqrt{5 lim_{x \to 3} x + 1} - 1 \cdot 4}$

Etapa 1.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $3$ por $x$ .

$\frac{0}{\sqrt{5 \cdot 3 + 1} - 1 \cdot 4}$

Etapa 1.1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.3.3.1.1

Multiplique $5$ por $3$ .

$\frac{0}{\sqrt{15 + 1} - 1 \cdot 4}$

Etapa 1.1.3.3.1.2

Some $15$ e $1$ .

$\frac{0}{\sqrt{16} - 1 \cdot 4}$

Etapa 1.1.3.3.1.3

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{0}{\sqrt{4^{2}} - 1 \cdot 4}$

Etapa 1.1.3.3.1.4

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{0}{4 - 1 \cdot 4}$

Etapa 1.1.3.3.1.5

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{0}{4 - 4}$

Etapa 1.1.3.3.2

Subtraia $4$ de $4$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 3} \frac{5 x^{2} - 45}{\sqrt{5 x + 1} - 4} = lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [5 x^{2} - 45]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{5 x + 1} - 4]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [5 x^{2} - 45]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{5 x + 1} - 4]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x^{2} - 45$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 45]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 45]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{5 x + 1} - 4]}$

Etapa 1.3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

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Etapa 1.3.3.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{2}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 45]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{5 x + 1} - 4]}$

Etapa 1.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 3} \frac{5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 45]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{5 x + 1} - 4]}$

Etapa 1.3.3.3

Multiplique $2$ por $5$ .

$lim_{x \to 3} \frac{10 x + \frac{d}{d x} [- 45]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{5 x + 1} - 4]}$

Etapa 1.3.4

Como $- 45$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 45$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{10 x + 0}{\frac{d}{d x} [\sqrt{5 x + 1} - 4]}$

Etapa 1.3.5

Some $10 x$ e $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{10 x}{\frac{d}{d x} [\sqrt{5 x + 1} - 4]}$

Etapa 1.3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sqrt{5 x + 1} - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\sqrt{5 x + 1}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{10 x}{\frac{d}{d x} [\sqrt{5 x + 1}] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Etapa 1.3.7

Avalie $\frac{d}{d x} [\sqrt{5 x + 1}]$ .

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Etapa 1.3.7.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5 x + 1}$ como ${(5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{10 x}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Etapa 1.3.7.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 5 x + 1$ .

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Etapa 1.3.7.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $5 x + 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{10 x}{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [5 x + 1] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Etapa 1.3.7.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{10 x}{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 x + 1] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Etapa 1.3.7.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $5 x + 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{10 x}{\frac{1}{2} {(5 x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 x + 1] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Etapa 1.3.7.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{10 x}{\frac{1}{2} {(5 x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Etapa 1.3.7.4

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{10 x}{\frac{1}{2} {(5 x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Etapa 1.3.7.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{10 x}{\frac{1}{2} {(5 x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Etapa 1.3.7.6

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{10 x}{\frac{1}{2} {(5 x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (5 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Etapa 1.3.7.7

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{10 x}{\frac{1}{2} {(5 x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (5 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Etapa 1.3.7.8

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{10 x}{\frac{1}{2} {(5 x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (5 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Etapa 1.3.7.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 3} \frac{10 x}{\frac{1}{2} {(5 x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (5 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Etapa 1.3.7.10

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.3.7.10.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to 3} \frac{10 x}{\frac{1}{2} {(5 x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} (5 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Etapa 1.3.7.10.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{10 x}{\frac{1}{2} {(5 x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} (5 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Etapa 1.3.7.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{x \to 3} \frac{10 x}{\frac{1}{2} {(5 x + 1)}^{- \frac{1}{2}} (5 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Etapa 1.3.7.12

Multiplique $5$ por $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{10 x}{\frac{1}{2} {(5 x + 1)}^{- \frac{1}{2}} (5 + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Etapa 1.3.7.13

Some $5$ e $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{10 x}{\frac{1}{2} {(5 x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 5 + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Etapa 1.3.7.14

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(5 x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{10 x}{\frac{{(5 x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 5 + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Etapa 1.3.7.15

Combine $\frac{{(5 x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $5$ .

$lim_{x \to 3} \frac{10 x}{\frac{{(5 x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 5}{2} + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Etapa 1.3.7.16

Mova $5$ para a esquerda de ${(5 x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{10 x}{\frac{5 \cdot {(5 x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Etapa 1.3.7.17

Mova ${(5 x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{10 x}{\frac{5}{2 {(5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Etapa 1.3.8

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{10 x}{\frac{5}{2 {(5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + 0}$

Etapa 1.3.9

Some $\frac{5}{2 {(5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ e $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{10 x}{\frac{5}{2 {(5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 1.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to 3} 10 x \frac{2 {(5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{5}$

Etapa 1.5

Reescreva ${(5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{5 x + 1}$ .

$lim_{x \to 3} 10 x \frac{2 \sqrt{5 x + 1}}{5}$

Etapa 1.6

Combine os fatores.

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Etapa 1.6.1

Combine $10$ e $\frac{2 \sqrt{5 x + 1}}{5}$ .

$lim_{x \to 3} x \frac{10 (2 \sqrt{5 x + 1})}{5}$

Etapa 1.6.2

Multiplique $2$ por $10$ .

$lim_{x \to 3} x \frac{20 \sqrt{5 x + 1}}{5}$

Etapa 1.6.3

Combine $x$ e $\frac{20 \sqrt{5 x + 1}}{5}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{x (20 \sqrt{5 x + 1})}{5}$

Etapa 1.7

Cancele o fator comum de $20$ e $5$ .

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Etapa 1.7.1

Fatore $5$ de $x (20 \sqrt{5 x + 1})$ .

$lim_{x \to 3} \frac{5 (x (4 \sqrt{5 x + 1}))}{5}$

Etapa 1.7.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.7.2.1

Fatore $5$ de $5$ .

$lim_{x \to 3} \frac{5 (x (4 \sqrt{5 x + 1}))}{5 (1)}$

Etapa 1.7.2.2

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to 3} \frac{5 (x (4 \sqrt{5 x + 1}))}{5 \cdot 1}$

Etapa 1.7.2.3

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to 3} \frac{x (4 \sqrt{5 x + 1})}{1}$

Etapa 1.7.2.4

Divida $x (4 \sqrt{5 x + 1})$ por $1$ .

$lim_{x \to 3} x (4 \sqrt{5 x + 1})$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$4 lim_{x \to 3} x \sqrt{5 x + 1}$

Etapa 2.2

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $3$ .

$4 lim_{x \to 3} x \cdot lim_{x \to 3} \sqrt{5 x + 1}$

Etapa 2.3

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$4 lim_{x \to 3} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 3} 5 x + 1}$

Etapa 2.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $3$ .

$4 lim_{x \to 3} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 3} 5 x + lim_{x \to 3} 1}$

Etapa 2.5

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$4 lim_{x \to 3} x \cdot \sqrt{5 lim_{x \to 3} x + lim_{x \to 3} 1}$

Etapa 2.6

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $3$ .

$4 lim_{x \to 3} x \cdot \sqrt{5 lim_{x \to 3} x + 1}$

Etapa 3

Avalie os limites substituindo $3$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 3.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $3$ por $x$ .

$4 \cdot 3 \cdot \sqrt{5 lim_{x \to 3} x + 1}$

Etapa 3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $3$ por $x$ .

$4 \cdot 3 \cdot \sqrt{5 \cdot 3 + 1}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Multiplique $4$ por $3$ .

$12 \cdot \sqrt{5 \cdot 3 + 1}$

Etapa 4.2

Multiplique $5$ por $3$ .

$12 \cdot \sqrt{15 + 1}$

Etapa 4.3

Some $15$ e $1$ .

$12 \cdot \sqrt{16}$

Etapa 4.4

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$12 \cdot \sqrt{4^{2}}$

Etapa 4.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$12 \cdot 4$

Etapa 4.6

Multiplique $12$ por $4$ .

$48$