Cálculo Exemplos

$\tan^{5} (x)$

Etapa 1

Escreva $\tan^{5} (x)$ como uma função.

$f (x) = \tan^{5} (x)$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \tan^{5} (x) d x$

Etapa 4

Fatore $\tan^{4} (x)$ .

$\int \tan^{4} (x) \tan (x) d x$

Etapa 5

Simplifique com fatoração.

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Etapa 5.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\int {\tan (x)}^{2 (2)} \tan (x) d x$

Etapa 5.2

Reescreva ${\tan (x)}^{2 (2)}$ como exponenciação.

$\int {(\tan^{2} (x))}^{2} \tan (x) d x$

Etapa 6

Usando a fórmula de Pitágoras, reescreva $\tan^{2} (x)$ como $- 1 + \sec^{2} (x)$ .

$\int {(- 1 + \sec^{2} (x))}^{2} \tan (x) d x$

Etapa 7

Use o teorema binomial.

$\int ({(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1 \sec^{2} (x) + {(\sec^{2} (x))}^{2}) \tan (x) d x$

Etapa 8

Simplifique multiplicando.

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Etapa 8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\int {(- 1)}^{2} \tan (x) + 2 \cdot - 1 \sec^{2} (x) \tan (x) + {(\sec^{2} (x))}^{2} \tan (x) d x$

Etapa 8.2

Simplifique.

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Etapa 8.2.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$\int 1 \tan (x) + 2 \cdot - 1 \sec^{2} (x) \tan (x) + {(\sec^{2} (x))}^{2} \tan (x) d x$

Etapa 8.2.2

Multiplique $\tan (x)$ por $1$ .

$\int \tan (x) + 2 \cdot - 1 \sec^{2} (x) \tan (x) + {(\sec^{2} (x))}^{2} \tan (x) d x$

Etapa 8.2.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\int \tan (x) - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) + {(\sec^{2} (x))}^{2} \tan (x) d x$

Etapa 8.2.4

Multiplique os expoentes em ${(\sec^{2} (x))}^{2}$ .

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Etapa 8.2.4.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \tan (x) - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) + {\sec (x)}^{2 \cdot 2} \tan (x) d x$

Etapa 8.2.4.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\int \tan (x) - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) + \sec^{4} (x) \tan (x) d x$

Etapa 9

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \tan (x) d x + \int - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) d x + \int \sec^{4} (x) \tan (x) d x$

Etapa 10

A integral de $\tan (x)$ com relação a $x$ é $\ln (| \sec (x) |)$ .

$\ln (| \sec (x) |) + C + \int - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) d x + \int \sec^{4} (x) \tan (x) d x$

Etapa 11

Como $- 2$ é constante com relação a $x$ , mova $- 2$ para fora da integral.

$\ln (| \sec (x) |) + C - 2 \int \sec^{2} (x) \tan (x) d x + \int \sec^{4} (x) \tan (x) d x$

Etapa 12

Deixe $u_{1} = \sec (x)$ . Depois, $d u_{1} = \sec (x) \tan (x) d x$ , então, $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 12.1

Deixe $u_{1} = \sec (x)$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 12.1.1

Diferencie $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Etapa 12.1.2

A derivada de $\sec (x)$ em relação a $x$ é $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Etapa 12.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\ln (| \sec (x) |) + C - 2 \int u_{1} d u_{1} + \int \sec^{4} (x) \tan (x) d x$

Etapa 13

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u_{1}$ com relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{2} {u_{1}}^{2}$ .

$\ln (| \sec (x) |) + C - 2 (\frac{1}{2} {u_{1}}^{2} + C) + \int \sec^{4} (x) \tan (x) d x$

Etapa 14

Deixe $u_{2} = \sec (x)$ . Depois, $d u_{2} = \sec (x) \tan (x) d x$ , então, $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 14.1

Deixe $u_{2} = \sec (x)$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 14.1.1

Diferencie $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Etapa 14.1.2

A derivada de $\sec (x)$ em relação a $x$ é $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Etapa 14.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\ln (| \sec (x) |) + C - 2 (\frac{1}{2} {u_{1}}^{2} + C) + \int {u_{2}}^{3} d u_{2}$

Etapa 15

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de ${u_{2}}^{3}$ com relação a $u_{2}$ é $\frac{1}{4} {u_{2}}^{4}$ .

$\ln (| \sec (x) |) + C - 2 (\frac{1}{2} {u_{1}}^{2} + C) + \frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C$

Etapa 16

Simplifique.

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Etapa 16.1

Combine $\frac{1}{2}$ e ${u_{1}}^{2}$ .

$\ln (| \sec (x) |) + C - 2 (\frac{{u_{1}}^{2}}{2} + C) + \frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C$

Etapa 16.2

Simplifique.

$\ln (| \sec (x) |) - {u_{1}}^{2} + \frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C$

Etapa 17

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 17.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\sec (x)$ .

$\ln (| \sec (x) |) - \sec^{2} (x) + \frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C$

Etapa 17.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\sec (x)$ .

$\ln (| \sec (x) |) - \sec^{2} (x) + \frac{1}{4} \sec^{4} (x) + C$

Etapa 18

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \tan^{5} (x)$ .

$F (x) =$ $\ln (| \sec (x) |) - \sec^{2} (x) + \frac{1}{4} \sec^{4} (x) + C$