Cálculo Exemplos

$y = \sqrt[3]{x^{2}} (2 x - x^{2})$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{x^{2}}$ como $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}} (2 x - x^{2})]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ e $g (x) = 2 x - x^{2}$ .

$x^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [2 x - x^{2}] + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x - x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$x^{\frac{2}{3}} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Etapa 3.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Etapa 3.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Etapa 3.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 - \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Etapa 3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 - (2 x)) + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Etapa 3.7

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Etapa 3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{2}{3}$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

Etapa 4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Etapa 5

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Etapa 6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x^{\frac{2}{3}} (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Etapa 7

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

Etapa 7.2

Subtraia $3$ de $2$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

Etapa 8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x^{\frac{2}{3}} (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

Etapa 9

Combine $\frac{2}{3}$ e $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Etapa 10

Mova $x^{- \frac{1}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 11

Simplifique.

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Etapa 11.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{\frac{2}{3}} \cdot 2 + x^{\frac{2}{3}} (- 2 x) + (2 x - x^{2}) \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 11.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{\frac{2}{3}} \cdot 2 + x^{\frac{2}{3}} (- 2 x) + 2 x \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 11.3

Combine os termos.

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Etapa 11.3.1

Mova $2$ para a esquerda de $x^{\frac{2}{3}}$ .

$2 \cdot x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{2}{3}} (- 2 x) + 2 x \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 11.3.2

Multiplique $x^{\frac{2}{3}}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 11.3.2.1

Mova $x$ .

$2 x^{\frac{2}{3}} + x \cdot x^{\frac{2}{3}} \cdot - 2 + 2 x \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 11.3.2.2

Multiplique $x$ por $x^{\frac{2}{3}}$ .

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Etapa 11.3.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$2 x^{\frac{2}{3}} + x^{1} x^{\frac{2}{3}} \cdot - 2 + 2 x \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 11.3.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 x^{\frac{2}{3}} + x^{1 + \frac{2}{3}} \cdot - 2 + 2 x \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 11.3.2.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$2 x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{3}{3} + \frac{2}{3}} \cdot - 2 + 2 x \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 11.3.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{3 + 2}{3}} \cdot - 2 + 2 x \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 11.3.2.5

Some $3$ e $2$ .

$2 x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{5}{3}} \cdot - 2 + 2 x \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 11.3.3

Mova $- 2$ para a esquerda de $x^{\frac{5}{3}}$ .

$2 x^{\frac{2}{3}} - 2 \cdot x^{\frac{5}{3}} + 2 x \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 11.3.4

Combine $2$ e $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ .

$2 x^{\frac{2}{3}} - 2 x^{\frac{5}{3}} + x \frac{2 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 11.3.5

Multiplique $2$ por $2$ .

$2 x^{\frac{2}{3}} - 2 x^{\frac{5}{3}} + x \frac{4}{3 x^{\frac{1}{3}}} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 11.3.6

Combine $x$ e $\frac{4}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ .

$2 x^{\frac{2}{3}} - 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{x \cdot 4}{3 x^{\frac{1}{3}}} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 11.3.7

Mova $4$ para a esquerda de $x$ .

$2 x^{\frac{2}{3}} - 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{4 \cdot x}{3 x^{\frac{1}{3}}} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 11.3.8

Mova $x^{\frac{1}{3}}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$2 x^{\frac{2}{3}} - 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{4 x \cdot x^{- \frac{1}{3}}}{3} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 11.3.9

Multiplique $x$ por $x^{- \frac{1}{3}}$ somando os expoentes.

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Etapa 11.3.9.1

Mova $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$2 x^{\frac{2}{3}} - 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{4 (x^{- \frac{1}{3}} x)}{3} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 11.3.9.2

Multiplique $x^{- \frac{1}{3}}$ por $x$ .

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Etapa 11.3.9.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$2 x^{\frac{2}{3}} - 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{4 (x^{- \frac{1}{3}} x^{1})}{3} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 11.3.9.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 x^{\frac{2}{3}} - 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{4 x^{- \frac{1}{3} + 1}}{3} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 11.3.9.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$2 x^{\frac{2}{3}} - 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{4 x^{- \frac{1}{3} + \frac{3}{3}}}{3} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 11.3.9.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 x^{\frac{2}{3}} - 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{4 x^{\frac{- 1 + 3}{3}}}{3} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 11.3.9.5

Some $- 1$ e $3$ .

$2 x^{\frac{2}{3}} - 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{4 x^{\frac{2}{3}}}{3} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 11.3.10

Combine $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ e $x^{2}$ .

$2 x^{\frac{2}{3}} - 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{4 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2 x^{2}}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 11.3.11

Mova $x^{\frac{1}{3}}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$2 x^{\frac{2}{3}} - 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{4 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2 x^{2} x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Etapa 11.3.12

Multiplique $x^{2}$ por $x^{- \frac{1}{3}}$ somando os expoentes.

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Etapa 11.3.12.1

Mova $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$2 x^{\frac{2}{3}} - 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{4 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2 (x^{- \frac{1}{3}} x^{2})}{3}$

Etapa 11.3.12.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 x^{\frac{2}{3}} - 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{4 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2 x^{- \frac{1}{3} + 2}}{3}$

Etapa 11.3.12.3

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$2 x^{\frac{2}{3}} - 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{4 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2 x^{- \frac{1}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}}}{3}$

Etapa 11.3.12.4

Combine $2$ e $\frac{3}{3}$ .

$2 x^{\frac{2}{3}} - 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{4 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2 x^{- \frac{1}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}}}{3}$

Etapa 11.3.12.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 x^{\frac{2}{3}} - 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{4 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2 x^{\frac{- 1 + 2 \cdot 3}{3}}}{3}$

Etapa 11.3.12.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 11.3.12.6.1

Multiplique $2$ por $3$ .

$2 x^{\frac{2}{3}} - 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{4 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2 x^{\frac{- 1 + 6}{3}}}{3}$

Etapa 11.3.12.6.2

Some $- 1$ e $6$ .

$2 x^{\frac{2}{3}} - 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{4 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2 x^{\frac{5}{3}}}{3}$

Etapa 11.3.13

Para escrever $2 x^{\frac{2}{3}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$- 2 x^{\frac{5}{3}} + 2 x^{\frac{2}{3}} \cdot \frac{3}{3} + \frac{4 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2 x^{\frac{5}{3}}}{3}$

Etapa 11.3.14

Combine $2 x^{\frac{2}{3}}$ e $\frac{3}{3}$ .

$- 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{2 x^{\frac{2}{3}} \cdot 3}{3} + \frac{4 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2 x^{\frac{5}{3}}}{3}$

Etapa 11.3.15

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{2 x^{\frac{2}{3}} \cdot 3 + 4 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2 x^{\frac{5}{3}}}{3}$

Etapa 11.3.16

Multiplique $3$ por $2$ .

$- 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{6 x^{\frac{2}{3}} + 4 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2 x^{\frac{5}{3}}}{3}$

Etapa 11.3.17

Some $6 x^{\frac{2}{3}}$ e $4 x^{\frac{2}{3}}$ .

$- 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2 x^{\frac{5}{3}}}{3}$

Etapa 11.3.18

Para escrever $- 2 x^{\frac{5}{3}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$- 2 x^{\frac{5}{3}} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 x^{\frac{5}{3}}}{3} + \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3}$

Etapa 11.3.19

Combine $- 2 x^{\frac{5}{3}}$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 2 x^{\frac{5}{3}} \cdot 3}{3} - \frac{2 x^{\frac{5}{3}}}{3} + \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3}$

Etapa 11.3.20

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 2 x^{\frac{5}{3}} \cdot 3 - 2 x^{\frac{5}{3}}}{3} + \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3}$

Etapa 11.3.21

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$\frac{- 6 x^{\frac{5}{3}} - 2 x^{\frac{5}{3}}}{3} + \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3}$

Etapa 11.3.22

Subtraia $2 x^{\frac{5}{3}}$ de $- 6 x^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{- 8 x^{\frac{5}{3}}}{3} + \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3}$

Etapa 11.3.23

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{8 x^{\frac{5}{3}}}{3} + \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3}$

Etapa 11.4

Reordene os termos.

$\frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{8 x^{\frac{5}{3}}}{3}$