Cálculo Exemplos

$f (x) = - 5 x^{4} + 5 x^{3} - 10$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 5 x^{4} + 5 x^{3} - 10$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 10]$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 x^{4}$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$- 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $4$ por $- 5$ .

$- 20 x^{3} + \frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [5 x^{3}]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{3}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 20 x^{3} + 5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$- 20 x^{3} + 5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 10]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $3$ por $5$ .

$- 20 x^{3} + 15 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 10]$

Etapa 1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.4.1

Como $- 10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 10$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 20 x^{3} + 15 x^{2} + 0$

Etapa 1.4.2

Some $- 20 x^{3} + 15 x^{2}$ e $0$ .

$- 20 x^{3} + 15 x^{2}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 20 x^{3} + 15 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 20 x^{3}) + \frac{d}{d x} (15 x^{2})$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $- 20$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 20 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = - 20 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (15 x^{2})$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = - 20 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (15 x^{2})$

Etapa 2.2.3

Multiplique $3$ por $- 20$ .

$f'' (x) = - 60 x^{2} + \frac{d}{d x} (15 x^{2})$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [15 x^{2}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $15$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $15 x^{2}$ em relação a $x$ é $15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 60 x^{2} + 15 \frac{d}{d x} (x^{2})$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = - 60 x^{2} + 15 (2 x)$

Etapa 2.3.3

Multiplique $2$ por $15$ .

$f'' (x) = - 60 x^{2} + 30 x$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- 20 x^{3} + 15 x^{2} = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 5 x^{4} + 5 x^{3} - 10$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 10]$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$ .

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Etapa 4.1.2.1

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 x^{4}$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$- 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $4$ por $- 5$ .

$- 20 x^{3} + \frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Etapa 4.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [5 x^{3}]$ .

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Etapa 4.1.3.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{3}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 20 x^{3} + 5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$- 20 x^{3} + 5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 10]$

Etapa 4.1.3.3

Multiplique $3$ por $5$ .

$- 20 x^{3} + 15 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 10]$

Etapa 4.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 4.1.4.1

Como $- 10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 10$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 20 x^{3} + 15 x^{2} + 0$

Etapa 4.1.4.2

Some $- 20 x^{3} + 15 x^{2}$ e $0$ .

$f' (x) = - 20 x^{3} + 15 x^{2}$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 20 x^{3} + 15 x^{2}$ .

$- 20 x^{3} + 15 x^{2}$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 20 x^{3} + 15 x^{2} = 0$ .

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Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- 20 x^{3} + 15 x^{2} = 0$

Etapa 5.2

Fatore $- 5 x^{2}$ de $- 20 x^{3} + 15 x^{2}$ .

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Etapa 5.2.1

Fatore $- 5 x^{2}$ de $- 20 x^{3}$ .

$- 5 x^{2} (4 x) + 15 x^{2} = 0$

Etapa 5.2.2

Fatore $- 5 x^{2}$ de $15 x^{2}$ .

$- 5 x^{2} (4 x) - 5 x^{2} \cdot - 3 = 0$

Etapa 5.2.3

Fatore $- 5 x^{2}$ de $- 5 x^{2} (4 x) - 5 x^{2} (- 3)$ .

$- 5 x^{2} (4 x - 3) = 0$

Etapa 5.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

$4 x - 3 = 0$

Etapa 5.4

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.4.1

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

Etapa 5.4.2

Resolva $x^{2} = 0$ para $x$ .

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Etapa 5.4.2.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 5.4.2.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

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Etapa 5.4.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 5.4.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 5.4.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 5.5

Defina $4 x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.5.1

Defina $4 x - 3$ como igual a $0$ .

$4 x - 3 = 0$

Etapa 5.5.2

Resolva $4 x - 3 = 0$ para $x$ .

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Etapa 5.5.2.1

Some $3$ aos dois lados da equação.

$4 x = 3$

Etapa 5.5.2.2

Divida cada termo em $4 x = 3$ por $4$ e simplifique.

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Etapa 5.5.2.2.1

Divida cada termo em $4 x = 3$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{3}{4}$

Etapa 5.5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.5.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 5.5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x}{4} = \frac{3}{4}$

Etapa 5.5.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{3}{4}$

Etapa 5.6

A solução final são todos os valores que tornam $- 5 x^{2} (4 x - 3) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, \frac{3}{4}$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 0, \frac{3}{4}$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 60 {(0)}^{2} + 30 (0)$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 9.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- 60 \cdot 0 + 30 (0)$

Etapa 9.1.2

Multiplique $- 60$ por $0$ .

$0 + 30 (0)$

Etapa 9.1.3

Multiplique $30$ por $0$ .

$0 + 0$

Etapa 9.2

Some $0$ e $0$ .

$0$

Etapa 10

Como há pelo menos um ponto com $0$ ou segunda derivada indefinida, aplique o teste da primeira derivada.

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Etapa 10.1

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a primeira derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{3}{4}) \cup (\frac{3}{4}, \infty)$

Etapa 10.2

Substitua qualquer número, como $- 2$ , do intervalo $(- \infty, 0)$ na primeira derivada $- 20 x^{3} + 15 x^{2}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 10.2.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f' (- 2) = - 20 {(- 2)}^{3} + 15 {(- 2)}^{2}$

Etapa 10.2.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 10.2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.2.2.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$f' (- 2) = - 20 \cdot - 8 + 15 {(- 2)}^{2}$

Etapa 10.2.2.1.2

Multiplique $- 20$ por $- 8$ .

$f' (- 2) = 160 + 15 {(- 2)}^{2}$

Etapa 10.2.2.1.3

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$f' (- 2) = 160 + 15 \cdot 4$

Etapa 10.2.2.1.4

Multiplique $15$ por $4$ .

$f' (- 2) = 160 + 60$

Etapa 10.2.2.2

Some $160$ e $60$ .

$f' (- 2) = 220$

Etapa 10.2.2.3

A resposta final é $220$ .

$220$

Etapa 10.3

Substitua qualquer número, como $0.38$ , do intervalo $(0, \frac{3}{4})$ na primeira derivada $- 20 x^{3} + 15 x^{2}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 10.3.1

Substitua a variável $x$ por $0.38$ na expressão.

$f' (0.38) = - 20 {(0.38)}^{3} + 15 {(0.38)}^{2}$

Etapa 10.3.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 10.3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.3.2.1.1

Eleve $0.38$ à potência de $3$ .

$f' (0.38) = - 20 \cdot 0.054872 + 15 {(0.38)}^{2}$

Etapa 10.3.2.1.2

Multiplique $- 20$ por $0.054872$ .

$f' (0.38) = - 1.09744 + 15 {(0.38)}^{2}$

Etapa 10.3.2.1.3

Eleve $0.38$ à potência de $2$ .

$f' (0.38) = - 1.09744 + 15 \cdot 0.1444$

Etapa 10.3.2.1.4

Multiplique $15$ por $0.1444$ .

$f' (0.38) = - 1.09744 + 2.166$

Etapa 10.3.2.2

Some $- 1.09744$ e $2.166$ .

$f' (0.38) = 1.06856$

Etapa 10.3.2.3

A resposta final é $1.06856$ .

$1.06856$

Etapa 10.4

Substitua qualquer número, como $3$ , do intervalo $(\frac{3}{4}, \infty)$ na primeira derivada $- 20 x^{3} + 15 x^{2}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 10.4.1

Substitua a variável $x$ por $3$ na expressão.

$f' (3) = - 20 {(3)}^{3} + 15 {(3)}^{2}$

Etapa 10.4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 10.4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.4.2.1.1

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$f' (3) = - 20 \cdot 27 + 15 {(3)}^{2}$

Etapa 10.4.2.1.2

Multiplique $- 20$ por $27$ .

$f' (3) = - 540 + 15 {(3)}^{2}$

Etapa 10.4.2.1.3

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f' (3) = - 540 + 15 \cdot 9$

Etapa 10.4.2.1.4

Multiplique $15$ por $9$ .

$f' (3) = - 540 + 135$

Etapa 10.4.2.2

Some $- 540$ e $135$ .

$f' (3) = - 405$

Etapa 10.4.2.3

A resposta final é $- 405$ .

$- 405$

Etapa 10.5

Como a primeira derivada não mudou os sinais em torno de $x = 0$ , este não é um máximo local nem um mínimo local.

Não é um máximo nem um mínimo local

Etapa 10.6

Como a primeira derivada mudou os sinais de positivo para negativo em torno de $x = \frac{3}{4}$ , então $x = \frac{3}{4}$ é um máximo local.

$x = \frac{3}{4}$ é um máximo local

Etapa 11