Cálculo Exemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{x - 5}{\sqrt[3]{27 x^{3} + 12}}$

Etapa 1

Fatore $3$ de $27 x^{3} + 12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Fatore $3$ de $27 x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x - 5}{\sqrt[3]{3 (9 x^{3}) + 12}}$

Etapa 1.2

Fatore $3$ de $12$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x - 5}{\sqrt[3]{3 (9 x^{3}) + 3 (4)}}$

Etapa 1.3

Fatore $3$ de $3 (9 x^{3}) + 3 (4)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x - 5}{\sqrt[3]{3 (9 x^{3} + 4)}}$

Etapa 2

Divida o numerador e o denominador pela potência mais alta de $x$ no denominador, que é $x = \sqrt[3]{x^{3}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{- 5}{x}}{\sqrt[3]{\frac{3 (9 x^{3} + 4)}{x^{3}}}}$

Etapa 3

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Simplifique cada termo.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{5}{x}}{\sqrt[3]{\frac{3 (9 x^{3} + 4)}{x^{3}}}}$

Etapa 3.2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{5}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt[3]{\frac{3 (9 x^{3} + 4)}{x^{3}}}}$

Etapa 3.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \frac{5}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt[3]{\frac{3 (9 x^{3} + 4)}{x^{3}}}}$

Etapa 3.4

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{1 - lim_{x \to \infty} \frac{5}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt[3]{\frac{3 (9 x^{3} + 4)}{x^{3}}}}$

Etapa 3.5

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1 - 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt[3]{\frac{3 (9 x^{3} + 4)}{x^{3}}}}$

Etapa 4

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1 - 5 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \sqrt[3]{\frac{3 (9 x^{3} + 4)}{x^{3}}}}$

Etapa 5

Avalie o limite.

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Etapa 5.1

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{1 - 5 \cdot 0}{\sqrt[3]{lim_{x \to \infty} \frac{3 (9 x^{3} + 4)}{x^{3}}}}$

Etapa 5.2

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1 - 5 \cdot 0}{\sqrt[3]{3 lim_{x \to \infty} \frac{9 x^{3} + 4}{x^{3}}}}$

Etapa 6

Divida o numerador e o denominador pela potência mais alta de $x$ no denominador, que é $x^{3}$ .

$\frac{1 - 5 \cdot 0}{\sqrt[3]{3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{9 x^{3}}{x^{3}} + \frac{4}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}}}$

Etapa 7

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Cancele o fator comum de $x^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 - 5 \cdot 0}{\sqrt[3]{3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{9 x^{3}}{x^{3}} + \frac{4}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}}}$

Etapa 7.1.2

Divida $9$ por $1$ .

$\frac{1 - 5 \cdot 0}{\sqrt[3]{3 lim_{x \to \infty} \frac{9 + \frac{4}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}}}$

Etapa 7.2

Cancele o fator comum de $x^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 - 5 \cdot 0}{\sqrt[3]{3 lim_{x \to \infty} \frac{9 + \frac{4}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}}}$

Etapa 7.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1 - 5 \cdot 0}{\sqrt[3]{3 lim_{x \to \infty} \frac{9 + \frac{4}{x^{3}}}{1}}}$

Etapa 7.3

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{1 - 5 \cdot 0}{\sqrt[3]{3 \frac{lim_{x \to \infty} 9 + \frac{4}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 1}}}$

Etapa 7.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{1 - 5 \cdot 0}{\sqrt[3]{3 \frac{lim_{x \to \infty} 9 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 1}}}$

Etapa 7.5

Avalie o limite de $9$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{1 - 5 \cdot 0}{\sqrt[3]{3 \frac{9 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 1}}}$

Etapa 7.6

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1 - 5 \cdot 0}{\sqrt[3]{3 \frac{9 + 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 1}}}$

Etapa 8

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x^{3}}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1 - 5 \cdot 0}{\sqrt[3]{3 \frac{9 + 4 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1}}}$

Etapa 9

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{1 - 5 \cdot 0}{\sqrt[3]{3 \frac{9 + 4 \cdot 0}{1}}}$

Etapa 9.2

Simplifique a resposta.

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Etapa 9.2.1

Divida $9 + 4 \cdot 0$ por $1$ .

$\frac{1 - 5 \cdot 0}{\sqrt[3]{3 (9 + 4 \cdot 0)}}$

Etapa 9.2.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 9.2.2.1

Multiplique $- 5$ por $0$ .

$\frac{1 + 0}{\sqrt[3]{3 (9 + 4 \cdot 0)}}$

Etapa 9.2.2.2

Some $1$ e $0$ .

$\frac{1}{\sqrt[3]{3 (9 + 4 \cdot 0)}}$

Etapa 9.2.3

Simplifique o denominador.

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Etapa 9.2.3.1

Multiplique $4$ por $0$ .

$\frac{1}{\sqrt[3]{3 (9 + 0)}}$

Etapa 9.2.3.2

Some $9$ e $0$ .

$\frac{1}{\sqrt[3]{3 \cdot 9}}$

Etapa 9.2.3.3

Multiplique $3$ por $9$ .

$\frac{1}{\sqrt[3]{27}}$

Etapa 9.2.3.4

Reescreva $27$ como $3^{3}$ .

$\frac{1}{\sqrt[3]{3^{3}}}$

Etapa 9.2.3.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$\frac{1}{3}$

Etapa 10

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{1}{3}$

Forma decimal:

$0.\overline{3}$