Cálculo Exemplos

$\int 5 x \sqrt[3]{1 - x^{2}} d x$

Etapa 1

Deixe $u = 1 - x^{2}$ . Depois, $d u = - 2 x d x$ , então, $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = 1 - x^{2}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $1 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 1.1.2.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$0 - 2 x$

Etapa 1.1.4

Subtraia $2 x$ de $0$ .

$- 2 x$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int 5 \sqrt[3]{u} \frac{1}{- 2} d u$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int 5 \sqrt[3]{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Etapa 2.2

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$\int - 5 \sqrt[3]{u} \frac{1}{2} d u$

Etapa 2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 5$ .

$\int \frac{- 5}{2} \sqrt[3]{u} d u$

Etapa 2.4

Combine $\frac{- 5}{2}$ e $\sqrt[3]{u}$ .

$\int \frac{- 5 \sqrt[3]{u}}{2} d u$

Etapa 2.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int - \frac{5 \sqrt[3]{u}}{2} d u$

Etapa 3

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int \frac{5 \sqrt[3]{u}}{2} d u$

Etapa 4

Como $\frac{5}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{5}{2}$ para fora da integral.

$- (\frac{5}{2} \int \sqrt[3]{u} d u)$

Etapa 5

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{u}$ como $u^{\frac{1}{3}}$ .

$- \frac{5}{2} \int u^{\frac{1}{3}} d u$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{1}{3}}$ com relação a $u$ é $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$- \frac{5}{2} (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C)$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Reescreva $- \frac{5}{2} (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C)$ como $- \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$ .

$- \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$

Etapa 7.2

Reescreva $- \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$ como $- \frac{15}{8} u^{\frac{4}{3}} + C$ .

$- \frac{15}{8} u^{\frac{4}{3}} + C$

Etapa 8

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 - x^{2}$ .

$- \frac{15}{8} {(1 - x^{2})}^{\frac{4}{3}} + C$