Cálculo Exemplos

$lim_{x \to - 2} \frac{- 3 x^{3} - 24}{x^{2} + x - 2}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to - 2} - 3 x^{3} - 24}{lim_{x \to - 2} x^{2} + x - 2}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 2$ .

$\frac{- lim_{x \to - 2} 3 x^{3} - lim_{x \to - 2} 24}{lim_{x \to - 2} x^{2} + x - 2}$

Etapa 1.1.2.1.2

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{- 3 lim_{x \to - 2} x^{3} - lim_{x \to - 2} 24}{lim_{x \to - 2} x^{2} + x - 2}$

Etapa 1.1.2.1.3

Mova o expoente $3$ de $x^{3}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{- 3 {(lim_{x \to - 2} x)}^{3} - lim_{x \to - 2} 24}{lim_{x \to - 2} x^{2} + x - 2}$

Etapa 1.1.2.1.4

Avalie o limite de $24$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 2$ .

$\frac{- 3 {(lim_{x \to - 2} x)}^{3} - 1 \cdot 24}{lim_{x \to - 2} x^{2} + x - 2}$

Etapa 1.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 2$ por $x$ .

$\frac{- 3 {(- 2)}^{3} - 1 \cdot 24}{lim_{x \to - 2} x^{2} + x - 2}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.2.3.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$\frac{- 3 \cdot - 8 - 1 \cdot 24}{lim_{x \to - 2} x^{2} + x - 2}$

Etapa 1.1.2.3.1.2

Multiplique $- 3$ por $- 8$ .

$\frac{24 - 1 \cdot 24}{lim_{x \to - 2} x^{2} + x - 2}$

Etapa 1.1.2.3.1.3

Multiplique $- 1$ por $24$ .

$\frac{24 - 24}{lim_{x \to - 2} x^{2} + x - 2}$

Etapa 1.1.2.3.2

Subtraia $24$ de $24$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 2} x^{2} + x - 2}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 2} x^{2} + lim_{x \to - 2} x - lim_{x \to - 2} 2}$

Etapa 1.1.3.2

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 2} x)}^{2} + lim_{x \to - 2} x - lim_{x \to - 2} 2}$

Etapa 1.1.3.3

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 2$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 2} x)}^{2} + lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 2}$

Etapa 1.1.3.4

Avalie os limites substituindo $- 2$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.1.3.4.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 2$ por $x$ .

$\frac{0}{{(- 2)}^{2} + lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 2}$

Etapa 1.1.3.4.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 2$ por $x$ .

$\frac{0}{{(- 2)}^{2} - 2 - 1 \cdot 2}$

Etapa 1.1.3.5

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.3.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.3.5.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$\frac{0}{4 - 2 - 1 \cdot 2}$

Etapa 1.1.3.5.1.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{0}{4 - 2 - 2}$

Etapa 1.1.3.5.2

Subtraia $2$ de $4$ .

$\frac{0}{2 - 2}$

Etapa 1.1.3.5.3

Subtraia $2$ de $2$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.5.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.6

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to - 2} \frac{- 3 x^{3} - 24}{x^{2} + x - 2} = lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [- 3 x^{3} - 24]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x - 2]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [- 3 x^{3} - 24]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x - 2]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 3 x^{3} - 24$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x - 2]}$

Etapa 1.3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

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Etapa 1.3.3.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x - 2]}$

Etapa 1.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 24]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x - 2]}$

Etapa 1.3.3.3

Multiplique $3$ por $- 3$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 24]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x - 2]}$

Etapa 1.3.4

Como $- 24$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 24$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 9 x^{2} + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x - 2]}$

Etapa 1.3.5

Some $- 9 x^{2}$ e $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 9 x^{2}}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x - 2]}$

Etapa 1.3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 9 x^{2}}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Etapa 1.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 9 x^{2}}{2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Etapa 1.3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 9 x^{2}}{2 x + 1 + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Etapa 1.3.9

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 9 x^{2}}{2 x + 1 + 0}$

Etapa 1.3.10

Some $2 x + 1$ e $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 9 x^{2}}{2 x + 1}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Mova o termo $- 9$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$- 9 lim_{x \to - 2} \frac{x^{2}}{2 x + 1}$

Etapa 2.2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 2$ .

$- 9 \frac{lim_{x \to - 2} x^{2}}{lim_{x \to - 2} 2 x + 1}$

Etapa 2.3

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$- 9 \frac{{(lim_{x \to - 2} x)}^{2}}{lim_{x \to - 2} 2 x + 1}$

Etapa 2.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 2$ .

$- 9 \frac{{(lim_{x \to - 2} x)}^{2}}{lim_{x \to - 2} 2 x + lim_{x \to - 2} 1}$

Etapa 2.5

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$- 9 \frac{{(lim_{x \to - 2} x)}^{2}}{2 lim_{x \to - 2} x + lim_{x \to - 2} 1}$

Etapa 2.6

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 2$ .

$- 9 \frac{{(lim_{x \to - 2} x)}^{2}}{2 lim_{x \to - 2} x + 1}$

Etapa 3

Avalie os limites substituindo $- 2$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 3.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 2$ por $x$ .

$- 9 \frac{{(- 2)}^{2}}{2 lim_{x \to - 2} x + 1}$

Etapa 3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 2$ por $x$ .

$- 9 \frac{{(- 2)}^{2}}{2 \cdot - 2 + 1}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$- 9 \frac{4}{2 \cdot - 2 + 1}$

Etapa 4.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.2.1

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$- 9 \frac{4}{- 4 + 1}$

Etapa 4.2.2

Some $- 4$ e $1$ .

$- 9 (\frac{4}{- 3})$

Etapa 4.3

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 4.3.1

Fatore $3$ de $- 9$ .

$3 (- 3) \frac{4}{- 3}$

Etapa 4.3.2

Fatore $3$ de $- 3$ .

$3 \cdot - 3 \frac{4}{3 \cdot - 1}$

Etapa 4.3.3

Cancele o fator comum.

$3 \cdot - 3 \frac{4}{3 \cdot - 1}$

Etapa 4.3.4

Reescreva a expressão.

$- 3 (\frac{4}{- 1})$

Etapa 4.4

Combine $- 3$ e $\frac{4}{- 1}$ .

$\frac{- 3 \cdot 4}{- 1}$

Etapa 4.5

Multiplique $- 3$ por $4$ .

$\frac{- 12}{- 1}$

Etapa 4.6

Divida $- 12$ por $- 1$ .

$12$