Cálculo Exemplos

$\int 6 x^{4} {(2 - 3 x^{5})}^{7} d x$

Etapa 1

Como $6$ é constante com relação a $x$ , mova $6$ para fora da integral.

$6 \int x^{4} {(2 - 3 x^{5})}^{7} d x$

Etapa 2

Deixe $u = 2 - 3 x^{5}$ . Depois, $d u = - 15 x^{4} d x$ , então, $- \frac{1}{15} d u = x^{4} d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Deixe $u = 2 - 3 x^{5}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $2 - 3 x^{5}$ .

$\frac{d}{d x} [2 - 3 x^{5}]$

Etapa 2.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 - 3 x^{5}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$

Etapa 2.1.2.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$

Etapa 2.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$ .

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Etapa 2.1.3.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x^{5}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$0 - 3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Etapa 2.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$0 - 3 (5 x^{4})$

Etapa 2.1.3.3

Multiplique $5$ por $- 3$ .

$0 - 15 x^{4}$

Etapa 2.1.4

Subtraia $15 x^{4}$ de $0$ .

$- 15 x^{4}$

Etapa 2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$6 \int u^{7} \frac{1}{- 15} d u$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$6 \int u^{7} (- \frac{1}{15}) d u$

Etapa 3.2

Combine $u^{7}$ e $\frac{1}{15}$ .

$6 \int - \frac{u^{7}}{15} d u$

Etapa 4

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$6 (- \int \frac{u^{7}}{15} d u)$

Etapa 5

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$- 6 \int \frac{u^{7}}{15} d u$

Etapa 6

Como $\frac{1}{15}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{15}$ para fora da integral.

$- 6 (\frac{1}{15} \int u^{7} d u)$

Etapa 7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Combine $\frac{1}{15}$ e $- 6$ .

$\frac{- 6}{15} \int u^{7} d u$

Etapa 7.2

Cancele o fator comum de $- 6$ e $15$ .

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Etapa 7.2.1

Fatore $3$ de $- 6$ .

$\frac{3 (- 2)}{15} \int u^{7} d u$

Etapa 7.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Fatore $3$ de $15$ .

$\frac{3 \cdot - 2}{3 \cdot 5} \int u^{7} d u$

Etapa 7.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \cdot - 2}{3 \cdot 5} \int u^{7} d u$

Etapa 7.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 2}{5} \int u^{7} d u$

Etapa 7.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2}{5} \int u^{7} d u$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{7}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{8} u^{8}$ .

$- \frac{2}{5} (\frac{1}{8} u^{8} + C)$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

Reescreva $- \frac{2}{5} (\frac{1}{8} u^{8} + C)$ como $- \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{8} u^{8} + C$ .

$- \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{8} u^{8} + C$

Etapa 9.2

Simplifique.

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Etapa 9.2.1

Multiplique $\frac{1}{8}$ por $\frac{2}{5}$ .

$- \frac{2}{8 \cdot 5} u^{8} + C$

Etapa 9.2.2

Multiplique $8$ por $5$ .

$- \frac{2}{40} u^{8} + C$

Etapa 9.2.3

Cancele o fator comum de $2$ e $40$ .

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Etapa 9.2.3.1

Fatore $2$ de $2$ .

$- \frac{2 (1)}{40} u^{8} + C$

Etapa 9.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.3.2.1

Fatore $2$ de $40$ .

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 20} u^{8} + C$

Etapa 9.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 20} u^{8} + C$

Etapa 9.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{1}{20} u^{8} + C$

Etapa 10

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 - 3 x^{5}$ .

$- \frac{1}{20} {(2 - 3 x^{5})}^{8} + C$