Cálculo Exemplos

$f (x) = \sqrt{x^{3} + 3 x^{2}}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Reescreva $\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{3} + 3 x^{2}}]$ como $\frac{d}{d x} [x \sqrt{x + 3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Reescreva $x^{3} + 3 x^{2}$ como $x^{2} (x + 3)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1.1

Fatore $x^{2}$ de $x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} x + 3 x^{2}}]$

Etapa 1.1.1.1.2

Fatore $x^{2}$ de $3 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} x + x^{2} \cdot 3}]$

Etapa 1.1.1.1.3

Fatore $x^{2}$ de $x^{2} x + x^{2} \cdot 3$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} (x + 3)}]$

Etapa 1.1.1.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{d}{d x} [x \sqrt{x + 3}]$

Etapa 1.1.2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x + 3}$ como ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{\frac{1}{2}}] + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x + 3$ .

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Etapa 1.1.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + 3$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 3$ .

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.5

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.6

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.8

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1.8.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.8.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.9

Combine frações.

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Etapa 1.1.9.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.9.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{{(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.9.3

Mova ${(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.9.4

Combine $\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 3] + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.10

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.12

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.13

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.13.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.13.2

Multiplique $\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ por $1$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.14

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Etapa 1.1.15

Multiplique ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 1.1.16

Para escrever ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.17

Combine ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.18

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.19

Multiplique ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.1.19.1

Mova ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.19.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x + {(x + 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.19.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x + {(x + 3)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.19.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{x + {(x + 3)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.19.5

Divida $2$ por $2$ .

$\frac{x + {(x + 3)}^{1} \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.20

Simplifique ${(x + 3)}^{1} \cdot 2$ .

$\frac{x + (x + 3) \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.21

Mova $2$ para a esquerda de $x + 3$ .

$\frac{x + 2 \cdot (x + 3)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.22

Simplifique.

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Etapa 1.1.22.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x + 2 x + 2 \cdot 3}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.22.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.22.2.1

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{x + 2 x + 6}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.22.2.2

Some $x$ e $2 x$ .

$\frac{3 x + 6}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.22.3

Fatore $3$ de $3 x + 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.22.3.1

Fatore $3$ de $3 x$ .

$\frac{3 (x) + 6}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.22.3.2

Fatore $3$ de $6$ .

$\frac{3 x + 3 \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.22.3.3

Fatore $3$ de $3 x + 3 \cdot 2$ .

$f' (x) = \frac{3 (x + 2)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{3 (x + 2)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 (x + 2)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{3 (x + 2)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{3 (x + 2)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Etapa 2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$3 (x + 2) = 0$

Etapa 2.3

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Divida cada termo em $3 (x + 2) = 0$ por $3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Divida cada termo em $3 (x + 2) = 0$ por $3$ .

$\frac{3 (x + 2)}{3} = \frac{0}{3}$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 (x + 2)}{3} = \frac{0}{3}$

Etapa 2.3.1.2.1.2

Divida $x + 2$ por $1$ .

$x + 2 = \frac{0}{3}$

Etapa 2.3.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.3.1

Divida $0$ por $3$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 2.3.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

Converta expressões com expoentes fracionários em radicais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$\frac{3 (x + 2)}{2 \sqrt{{(x + 3)}^{1}}}$

Etapa 3.1.2

Qualquer número elevado a $1$ é a própria base.

$\frac{3 (x + 2)}{2 \sqrt{x + 3}}$

Etapa 3.2

Defina o denominador em $\frac{3 (x + 2)}{2 \sqrt{x + 3}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$2 \sqrt{x + 3} = 0$

Etapa 3.3

Resolva $x$ .

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Etapa 3.3.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${(2 \sqrt{x + 3})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 3.3.2

Simplifique cada lado da equação.

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Etapa 3.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x + 3}$ como ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 3.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.2.1

Simplifique ${(2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.2.1.1

Aplique a regra do produto a $2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 3.3.2.2.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$4 {({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 3.3.2.2.1.3

Multiplique os expoentes em ${({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 3.3.2.2.1.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 3.3.2.2.1.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.2.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 3.3.2.2.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$4 {(x + 3)}^{1} = 0^{2}$

Etapa 3.3.2.2.1.4

Simplifique.

$4 (x + 3) = 0^{2}$

Etapa 3.3.2.2.1.5

Aplique a propriedade distributiva.

$4 x + 4 \cdot 3 = 0^{2}$

Etapa 3.3.2.2.1.6

Multiplique $4$ por $3$ .

$4 x + 12 = 0^{2}$

Etapa 3.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$4 x + 12 = 0$

Etapa 3.3.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1

Subtraia $12$ dos dois lados da equação.

$4 x = - 12$

Etapa 3.3.3.2

Divida cada termo em $4 x = - 12$ por $4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.2.1

Divida cada termo em $4 x = - 12$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 12}{4}$

Etapa 3.3.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 12}{4}$

Etapa 3.3.3.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 12}{4}$

Etapa 3.3.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.2.3.1

Divida $- 12$ por $4$ .

$x = - 3$

Etapa 3.4

Defina o radicando em $\sqrt{x + 3}$ como menor do que $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x + 3 < 0$

Etapa 3.5

Subtraia $3$ dos dois lados da desigualdade.

$x < - 3$

Etapa 3.6

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

$x \leq - 3$

$(- \infty, - 3]$

$x \leq - 3$

$(- \infty, - 3]$

Etapa 4

Avalie $\sqrt{x^{3} + 3 x^{2}}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Avalie em $x = - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Substitua $- 2$ por $x$ .

$\sqrt{{(- 2)}^{3} + 3 {(- 2)}^{2}}$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$\sqrt{- 8 + 3 {(- 2)}^{2}}$

Etapa 4.1.2.2

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$\sqrt{- 8 + 3 \cdot 4}$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $3$ por $4$ .

$\sqrt{- 8 + 12}$

Etapa 4.1.2.4

Some $- 8$ e $12$ .

$\sqrt{4}$

Etapa 4.1.2.5

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2}}$

Etapa 4.1.2.6

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$2$

Etapa 4.2

Avalie em $x = - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Substitua $- 3$ por $x$ .

$\sqrt{{(- 3)}^{3} + 3 {(- 3)}^{2}}$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Eleve $- 3$ à potência de $3$ .

$\sqrt{- 27 + 3 {(- 3)}^{2}}$

Etapa 4.2.2.2

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$\sqrt{- 27 + 3 \cdot 9}$

Etapa 4.2.2.3

Multiplique $3$ por $9$ .

$\sqrt{- 27 + 27}$

Etapa 4.2.2.4

Some $- 27$ e $27$ .

$\sqrt{0}$

Etapa 4.2.2.5

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$\sqrt{0^{2}}$

Etapa 4.2.2.6

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$0$

Etapa 4.3

Liste todos os pontos.

$(- 2, 2), (- 3, 0)$

Etapa 5