Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{4} + 4 x^{2} + 1$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie.

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Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} + 4 x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{2}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 x^{3} + 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $2$ por $4$ .

$4 x^{3} + 8 x + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.3.1

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 x^{3} + 8 x + 0$

Etapa 1.3.2

Some $4 x^{3} + 8 x$ e $0$ .

$4 x^{3} + 8 x$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x^{3} + 8 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (8 x)$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{3}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (8 x)$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x)$

Etapa 2.2.3

Multiplique $3$ por $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (8 x)$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 x$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 8 \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 8 \cdot 1$

Etapa 2.3.3

Multiplique $8$ por $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 8$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$4 x^{3} + 8 x = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1.1

Diferencie.

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Etapa 4.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} + 4 x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 4.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Etapa 4.1.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{2}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 x^{3} + 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $2$ por $4$ .

$4 x^{3} + 8 x + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 4.1.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 4.1.3.1

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 x^{3} + 8 x + 0$

Etapa 4.1.3.2

Some $4 x^{3} + 8 x$ e $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 8 x$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $4 x^{3} + 8 x$ .

$4 x^{3} + 8 x$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $4 x^{3} + 8 x = 0$ .

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Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$4 x^{3} + 8 x = 0$

Etapa 5.2

Fatore $4 x$ de $4 x^{3} + 8 x$ .

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Etapa 5.2.1

Fatore $4 x$ de $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) + 8 x = 0$

Etapa 5.2.2

Fatore $4 x$ de $8 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (2) = 0$

Etapa 5.2.3

Fatore $4 x$ de $4 x (x^{2}) + 4 x (2)$ .

$4 x (x^{2} + 2) = 0$

Etapa 5.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x^{2} + 2 = 0$

Etapa 5.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 5.5

Defina $x^{2} + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.5.1

Defina $x^{2} + 2$ como igual a $0$ .

$x^{2} + 2 = 0$

Etapa 5.5.2

Resolva $x^{2} + 2 = 0$ para $x$ .

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Etapa 5.5.2.1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x^{2} = - 2$

Etapa 5.5.2.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{- 2}$

Etapa 5.5.2.3

Simplifique $\pm \sqrt{- 2}$ .

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Etapa 5.5.2.3.1

Reescreva $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

Etapa 5.5.2.3.2

Reescreva $\sqrt{- 1 (2)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

Etapa 5.5.2.3.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \sqrt{2}$

Etapa 5.5.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 5.5.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = i \sqrt{2}$

Etapa 5.5.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - i \sqrt{2}$

Etapa 5.5.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

Etapa 5.6

A solução final são todos os valores que tornam $4 x (x^{2} + 2) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 0$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$12 {(0)}^{2} + 8$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 9.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$12 \cdot 0 + 8$

Etapa 9.1.2

Multiplique $12$ por $0$ .

$0 + 8$

Etapa 9.2

Some $0$ e $8$ .

$8$

Etapa 10

$x = 0$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 0$ é um mínimo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = 0$ .

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Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = {(0)}^{4} + 4 {(0)}^{2} + 1$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 11.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 11.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 + 4 {(0)}^{2} + 1$

Etapa 11.2.1.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 + 4 \cdot 0 + 1$

Etapa 11.2.1.3

Multiplique $4$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 1$

Etapa 11.2.2

Simplifique somando os números.

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Etapa 11.2.2.1

Some $0$ e $0$ .

$f (0) = 0 + 1$

Etapa 11.2.2.2

Some $0$ e $1$ .

$f (0) = 1$

Etapa 11.2.3

A resposta final é $1$ .

$y = 1$

Etapa 12

Esses são os extremos locais para $f (x) = x^{4} + 4 x^{2} + 1$ .

$(0, 1)$ é um mínimo local

Etapa 13