Cálculo Exemplos

$\int \frac{2 x + 1}{9 + 16 x^{2}} d x$

Etapa 1

Divida a fração $\frac{2 x + 1}{9 + 16 x^{2}}$ em duas frações.

$\int \frac{2 x}{9 + 16 x^{2}} + \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \frac{2 x}{9 + 16 x^{2}} d x + \int \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

Etapa 3

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int \frac{x}{9 + 16 x^{2}} d x + \int \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

Etapa 4

Deixe $u = 9 + 16 x^{2}$ . Depois, $d u = 32 x d x$ , então, $\frac{1}{32} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 4.1

Deixe $u = 9 + 16 x^{2}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 4.1.1

Diferencie $9 + 16 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [9 + 16 x^{2}]$

Etapa 4.1.2

Diferencie.

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Etapa 4.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $9 + 16 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [16 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [16 x^{2}]$

Etapa 4.1.2.2

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [16 x^{2}]$

Etapa 4.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [16 x^{2}]$ .

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Etapa 4.1.3.1

Como $16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $16 x^{2}$ em relação a $x$ é $16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 + 16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$0 + 16 (2 x)$

Etapa 4.1.3.3

Multiplique $2$ por $16$ .

$0 + 32 x$

Etapa 4.1.4

Some $0$ e $32 x$ .

$32 x$

Etapa 4.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{32} d u + \int \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{32}$ .

$2 \int \frac{1}{u \cdot 32} d u + \int \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

Etapa 5.2

Mova $32$ para a esquerda de $u$ .

$2 \int \frac{1}{32 u} d u + \int \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

Etapa 6

Como $\frac{1}{32}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{32}$ para fora da integral.

$2 (\frac{1}{32} \int \frac{1}{u} d u) + \int \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Combine $\frac{1}{32}$ e $2$ .

$\frac{2}{32} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

Etapa 7.2

Cancele o fator comum de $2$ e $32$ .

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Etapa 7.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (1)}{32} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

Etapa 7.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 7.2.2.1

Fatore $2$ de $32$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 16} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

Etapa 7.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 16} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

Etapa 7.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{16} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

Etapa 8

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

Etapa 9

Fatore $16$ de $9 + 16 x^{2}$ .

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Etapa 9.1

Fatore $16$ de $9$ .

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{1}{16 (\frac{9}{16}) + 16 x^{2}} d x$

Etapa 9.2

Fatore $16$ de $16 x^{2}$ .

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{1}{16 (\frac{9}{16}) + 16 (x^{2})} d x$

Etapa 9.3

Fatore $16$ de $16 (\frac{9}{16}) + 16 (x^{2})$ .

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{1}{16 (\frac{9}{16} + x^{2})} d x$

Etapa 10

Como $\frac{1}{16}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{16}$ para fora da integral.

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \frac{1}{16} \int \frac{1}{\frac{9}{16} + x^{2}} d x$

Etapa 11

Reescreva $\frac{9}{16}$ como ${(\frac{3}{4})}^{2}$ .

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \frac{1}{16} \int \frac{1}{{(\frac{3}{4})}^{2} + x^{2}} d x$

Etapa 12

A integral de $\frac{1}{{(\frac{3}{4})}^{2} + x^{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{\frac{3}{4}} \arctan (\frac{x}{\frac{3}{4}}) + C$ .

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \frac{1}{16} (\frac{1}{\frac{3}{4}} \arctan (\frac{x}{\frac{3}{4}}) + C)$

Etapa 13

Simplifique.

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Etapa 13.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{3}{4}$ .

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \frac{1}{16} (1 (\frac{4}{3}) \arctan (\frac{x}{\frac{3}{4}}) + C)$

Etapa 13.1.2

Multiplique $\frac{4}{3}$ por $1$ .

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \frac{1}{16} (\frac{4}{3} \arctan (\frac{x}{\frac{3}{4}}) + C)$

Etapa 13.1.3

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{3}{4}$ .

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \frac{1}{16} (\frac{4}{3} \arctan (x \frac{4}{3}) + C)$

Etapa 13.1.4

Combine $x$ e $\frac{4}{3}$ .

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \frac{1}{16} (\frac{4}{3} \arctan (\frac{x \cdot 4}{3}) + C)$

Etapa 13.1.5

Mova $4$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \frac{1}{16} (\frac{4}{3} \arctan (\frac{4 \cdot x}{3}) + C)$

Etapa 13.1.6

Combine $\frac{4}{3}$ e $\arctan (\frac{4 x}{3})$ .

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \frac{1}{16} (\frac{4 \arctan (\frac{4 x}{3})}{3} + C)$

Etapa 13.2

Simplifique.

$\frac{1}{16} \ln (| u |) + \frac{1}{16} \cdot \frac{4}{3} \arctan (\frac{4}{3} x) + C$

Etapa 13.3

Simplifique.

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Etapa 13.3.1

Multiplique $\frac{1}{16}$ por $\frac{4}{3}$ .

$\frac{1}{16} \ln (| u |) + \frac{4}{16 \cdot 3} \arctan (\frac{4}{3} x) + C$

Etapa 13.3.2

Multiplique $16$ por $3$ .

$\frac{1}{16} \ln (| u |) + \frac{4}{48} \arctan (\frac{4}{3} x) + C$

Etapa 13.3.3

Cancele o fator comum de $4$ e $48$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.3.3.1

Fatore $4$ de $4$ .

$\frac{1}{16} \ln (| u |) + \frac{4 (1)}{48} \arctan (\frac{4}{3} x) + C$

Etapa 13.3.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.3.3.2.1

Fatore $4$ de $48$ .

$\frac{1}{16} \ln (| u |) + \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 12} \arctan (\frac{4}{3} x) + C$

Etapa 13.3.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{16} \ln (| u |) + \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 12} \arctan (\frac{4}{3} x) + C$

Etapa 13.3.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{16} \ln (| u |) + \frac{1}{12} \arctan (\frac{4}{3} x) + C$

Etapa 14

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $9 + 16 x^{2}$ .

$\frac{1}{16} \ln (| 9 + 16 x^{2} |) + \frac{1}{12} \arctan (\frac{4}{3} x) + C$