Cálculo Exemplos

$y = {\sin (x)}^{\ln (x)}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({\sin (x)}^{\ln (x)})$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Use as propriedades dos logaritmos para simplificar a diferenciação.

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Etapa 3.1.1

Reescreva ${\sin (x)}^{\ln (x)}$ como $e^{\ln ({\sin (x)}^{\ln (x)})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({\sin (x)}^{\ln (x)})}]$

Etapa 3.1.2

Expanda $\ln ({\sin (x)}^{\ln (x)})$ movendo $\ln (x)$ para fora do logaritmo.

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x) \ln (\sin (x))}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \ln (x) \ln (\sin (x))$ .

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Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\ln (x) \ln (\sin (x))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\ln (x) \ln (\sin (x))]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\ln (x) \ln (\sin (x))]$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\ln (x) \ln (\sin (x))$ .

$e^{\ln (x) \ln (\sin (x))} \frac{d}{d x} [\ln (x) \ln (\sin (x))]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \ln (\sin (x))$ .

$e^{\ln (x) \ln (\sin (x))} (\ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))] + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \sin (x)$ .

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Etapa 3.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $\sin (x)$ .

$e^{\ln (x) \ln (\sin (x))} (\ln (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Etapa 3.4.2

A derivada de $\ln (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{\ln (x) \ln (\sin (x))} (\ln (x) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Etapa 3.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\sin (x)$ .

$e^{\ln (x) \ln (\sin (x))} (\ln (x) (\frac{1}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Etapa 3.5

Converta de $\frac{1}{\sin (x)}$ em $\csc (x)$ .

$e^{\ln (x) \ln (\sin (x))} (\ln (x) (\csc (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Etapa 3.6

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$e^{\ln (x) \ln (\sin (x))} (\ln (x) (\csc (x) \cos (x)) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Etapa 3.7

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$e^{\ln (x) \ln (\sin (x))} (\ln (x) (\csc (x) \cos (x)) + \ln (\sin (x)) \frac{1}{x})$

Etapa 3.8

Combine $\ln (\sin (x))$ e $\frac{1}{x}$ .

$e^{\ln (x) \ln (\sin (x))} (\ln (x) (\csc (x) \cos (x)) + \frac{\ln (\sin (x))}{x})$

Etapa 3.9

Simplifique.

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Etapa 3.9.1

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{\ln (x) \ln (\sin (x))} (\ln (x) (\csc (x) \cos (x))) + e^{\ln (x) \ln (\sin (x))} \frac{\ln (\sin (x))}{x}$

Etapa 3.9.2

Combine $e^{\ln (x) \ln (\sin (x))}$ e $\frac{\ln (\sin (x))}{x}$ .

$e^{\ln (x) \ln (\sin (x))} \ln (x) \csc (x) \cos (x) + \frac{e^{\ln (x) \ln (\sin (x))} \ln (\sin (x))}{x}$

Etapa 3.9.3

Reordene os termos.

$e^{\ln (x) \ln (\sin (x))} \cos (x) \csc (x) \ln (x) + \frac{e^{\ln (x) \ln (\sin (x))} \ln (\sin (x))}{x}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = e^{\ln (x) \ln (\sin (x))} \cos (x) \csc (x) \ln (x) + \frac{e^{\ln (x) \ln (\sin (x))} \ln (\sin (x))}{x}$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = e^{\ln (x) \ln (\sin (x))} \cos (x) \csc (x) \ln (x) + \frac{e^{\ln (x) \ln (\sin (x))} \ln (\sin (x))}{x}$