Cálculo Exemplos

$y = \sin (4 x - 7)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 4 x - 7$ .

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Etapa 1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $4 x - 7$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [4 x - 7]$

Etapa 1.1.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [4 x - 7]$

Etapa 1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 x - 7$ .

$\cos (4 x - 7) \frac{d}{d x} [4 x - 7]$

Etapa 1.2

Diferencie.

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Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x - 7$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\cos (4 x - 7) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

Etapa 1.2.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (4 x - 7) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

Etapa 1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\cos (4 x - 7) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7])$

Etapa 1.2.4

Multiplique $4$ por $1$ .

$\cos (4 x - 7) (4 + \frac{d}{d x} [- 7])$

Etapa 1.2.5

Como $- 7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 7$ em relação a $x$ é $0$ .

$\cos (4 x - 7) (4 + 0)$

Etapa 1.2.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.2.6.1

Some $4$ e $0$ .

$\cos (4 x - 7) \cdot 4$

Etapa 1.2.6.2

Mova $4$ para a esquerda de $\cos (4 x - 7)$ .

$f' (x) = 4 \cos (4 x - 7)$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 \cos (4 x - 7)$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [\cos (4 x - 7)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\cos (4 x - 7)]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 4 x - 7$ .

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Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $4 x - 7$ .

$4 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [4 x - 7])$

Etapa 2.2.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$4 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [4 x - 7])$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 x - 7$ .

$4 (- \sin (4 x - 7) \frac{d}{d x} [4 x - 7])$

Etapa 2.3

Diferencie.

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Etapa 2.3.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$- 4 (\sin (4 x - 7) \frac{d}{d x} [4 x - 7])$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x - 7$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$- 4 \sin (4 x - 7) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

Etapa 2.3.3

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \sin (4 x - 7) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

Etapa 2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 4 \sin (4 x - 7) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7])$

Etapa 2.3.5

Multiplique $4$ por $1$ .

$- 4 \sin (4 x - 7) (4 + \frac{d}{d x} [- 7])$

Etapa 2.3.6

Como $- 7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 7$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 4 \sin (4 x - 7) (4 + 0)$

Etapa 2.3.7

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.3.7.1

Some $4$ e $0$ .

$- 4 \sin (4 x - 7) \cdot 4$

Etapa 2.3.7.2

Multiplique $4$ por $- 4$ .

$f'' (x) = - 16 \sin (4 x - 7)$

Etapa 3

Encontre a terceira derivada.

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Etapa 3.1

Como $- 16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 16 \sin (4 x - 7)$ em relação a $x$ é $- 16 \frac{d}{d x} [\sin (4 x - 7)]$ .

$- 16 \frac{d}{d x} [\sin (4 x - 7)]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 4 x - 7$ .

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Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $4 x - 7$ .

$- 16 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [4 x - 7])$

Etapa 3.2.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$- 16 (\cos (u) \frac{d}{d x} [4 x - 7])$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 x - 7$ .

$- 16 (\cos (4 x - 7) \frac{d}{d x} [4 x - 7])$

Etapa 3.3

Diferencie.

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Etapa 3.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x - 7$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$- 16 \cos (4 x - 7) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

Etapa 3.3.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 16 \cos (4 x - 7) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

Etapa 3.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 16 \cos (4 x - 7) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7])$

Etapa 3.3.4

Multiplique $4$ por $1$ .

$- 16 \cos (4 x - 7) (4 + \frac{d}{d x} [- 7])$

Etapa 3.3.5

Como $- 7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 7$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 16 \cos (4 x - 7) (4 + 0)$

Etapa 3.3.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.3.6.1

Some $4$ e $0$ .

$- 16 \cos (4 x - 7) \cdot 4$

Etapa 3.3.6.2

Multiplique $4$ por $- 16$ .

$f''' (x) = - 64 \cos (4 x - 7)$

Etapa 4

Encontre a quarta derivada.

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Etapa 4.1

Como $- 64$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 64 \cos (4 x - 7)$ em relação a $x$ é $- 64 \frac{d}{d x} [\cos (4 x - 7)]$ .

$- 64 \frac{d}{d x} [\cos (4 x - 7)]$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 4 x - 7$ .

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Etapa 4.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $4 x - 7$ .

$- 64 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [4 x - 7])$

Etapa 4.2.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$- 64 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [4 x - 7])$

Etapa 4.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 x - 7$ .

$- 64 (- \sin (4 x - 7) \frac{d}{d x} [4 x - 7])$

Etapa 4.3

Diferencie.

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Etapa 4.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 64$ .

$64 (\sin (4 x - 7) \frac{d}{d x} [4 x - 7])$

Etapa 4.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x - 7$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$64 \sin (4 x - 7) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

Etapa 4.3.3

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$64 \sin (4 x - 7) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

Etapa 4.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$64 \sin (4 x - 7) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7])$

Etapa 4.3.5

Multiplique $4$ por $1$ .

$64 \sin (4 x - 7) (4 + \frac{d}{d x} [- 7])$

Etapa 4.3.6

Como $- 7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 7$ em relação a $x$ é $0$ .

$64 \sin (4 x - 7) (4 + 0)$

Etapa 4.3.7

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.7.1

Some $4$ e $0$ .

$64 \sin (4 x - 7) \cdot 4$

Etapa 4.3.7.2

Multiplique $4$ por $64$ .

$f^{4} (x) = 256 \sin (4 x - 7)$