Cálculo Exemplos

$lim_{y \to - 1} \frac{\frac{1}{4 + 3 y} + \frac{1}{y}}{y + 1}$

Etapa 1

Combine os termos.

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Etapa 1.1

Para escrever $\frac{1}{4 + 3 y}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{y}{y}$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{\frac{1}{4 + 3 y} \cdot \frac{y}{y} + \frac{1}{y}}{y + 1}$

Etapa 1.2

Para escrever $\frac{1}{y}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4 + 3 y}{4 + 3 y}$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{\frac{1}{4 + 3 y} \cdot \frac{y}{y} + \frac{1}{y} \cdot \frac{4 + 3 y}{4 + 3 y}}{y + 1}$

Etapa 1.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(4 + 3 y) y$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 1.3.1

Multiplique $\frac{1}{4 + 3 y}$ por $\frac{y}{y}$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{\frac{y}{(4 + 3 y) y} + \frac{1}{y} \cdot \frac{4 + 3 y}{4 + 3 y}}{y + 1}$

Etapa 1.3.2

Multiplique $\frac{1}{y}$ por $\frac{4 + 3 y}{4 + 3 y}$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{\frac{y}{(4 + 3 y) y} + \frac{4 + 3 y}{y (4 + 3 y)}}{y + 1}$

Etapa 1.3.3

Reordene os fatores de $(4 + 3 y) y$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{\frac{y}{y (4 + 3 y)} + \frac{4 + 3 y}{y (4 + 3 y)}}{y + 1}$

Etapa 1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{y \to - 1} \frac{\frac{y + 4 + 3 y}{y (4 + 3 y)}}{y + 1}$

Etapa 1.5

Some $y$ e $3 y$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{\frac{4 y + 4}{y (4 + 3 y)}}{y + 1}$

Etapa 2

Simplifique o argumento do limite.

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Etapa 2.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{y \to - 1} \frac{4 y + 4}{y (4 + 3 y)} \cdot \frac{1}{y + 1}$

Etapa 2.2

Multiplique $\frac{4 y + 4}{y (4 + 3 y)}$ por $\frac{1}{y + 1}$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{4 y + 4}{y (4 + 3 y) (y + 1)}$

Etapa 3

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 3.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 3.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{y \to - 1} 4 y + 4}{lim_{y \to - 1} y (4 + 3 y) (y + 1)}$

Etapa 3.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 3.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 3.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $y$ se aproxima de $- 1$ .

$\frac{lim_{y \to - 1} 4 y + lim_{y \to - 1} 4}{lim_{y \to - 1} y (4 + 3 y) (y + 1)}$

Etapa 3.1.2.1.2

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $y$ .

$\frac{4 lim_{y \to - 1} y + lim_{y \to - 1} 4}{lim_{y \to - 1} y (4 + 3 y) (y + 1)}$

Etapa 3.1.2.1.3

Avalie o limite de $4$ , que é constante à medida que $y$ se aproxima de $- 1$ .

$\frac{4 lim_{y \to - 1} y + 4}{lim_{y \to - 1} y (4 + 3 y) (y + 1)}$

Etapa 3.1.2.2

Avalie o limite de $y$ substituindo $- 1$ por $y$ .

$\frac{4 \cdot - 1 + 4}{lim_{y \to - 1} y (4 + 3 y) (y + 1)}$

Etapa 3.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 3.1.2.3.1

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\frac{- 4 + 4}{lim_{y \to - 1} y (4 + 3 y) (y + 1)}$

Etapa 3.1.2.3.2

Some $- 4$ e $4$ .

$\frac{0}{lim_{y \to - 1} y (4 + 3 y) (y + 1)}$

Etapa 3.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 3.1.3.1

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $y$ se aproxima de $- 1$ .

$\frac{0}{lim_{y \to - 1} y \cdot lim_{y \to - 1} 4 + 3 y \cdot lim_{y \to - 1} y + 1}$

Etapa 3.1.3.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $y$ se aproxima de $- 1$ .

$\frac{0}{lim_{y \to - 1} y \cdot (lim_{y \to - 1} 4 + lim_{y \to - 1} 3 y) \cdot lim_{y \to - 1} y + 1}$

Etapa 3.1.3.3

Avalie o limite de $4$ , que é constante à medida que $y$ se aproxima de $- 1$ .

$\frac{0}{lim_{y \to - 1} y \cdot (4 + lim_{y \to - 1} 3 y) \cdot lim_{y \to - 1} y + 1}$

Etapa 3.1.3.4

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $y$ .

$\frac{0}{lim_{y \to - 1} y \cdot (4 + 3 lim_{y \to - 1} y) \cdot lim_{y \to - 1} y + 1}$

Etapa 3.1.3.5

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $y$ se aproxima de $- 1$ .

$\frac{0}{lim_{y \to - 1} y \cdot (4 + 3 lim_{y \to - 1} y) \cdot (lim_{y \to - 1} y + lim_{y \to - 1} 1)}$

Etapa 3.1.3.6

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $y$ se aproxima de $- 1$ .

$\frac{0}{lim_{y \to - 1} y \cdot (4 + 3 lim_{y \to - 1} y) \cdot (lim_{y \to - 1} y + 1)}$

Etapa 3.1.3.7

Avalie os limites substituindo $- 1$ por todas as ocorrências de $y$ .

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Etapa 3.1.3.7.1

Avalie o limite de $y$ substituindo $- 1$ por $y$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot (4 + 3 lim_{y \to - 1} y) \cdot (lim_{y \to - 1} y + 1)}$

Etapa 3.1.3.7.2

Avalie o limite de $y$ substituindo $- 1$ por $y$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot (4 + 3 \cdot - 1) \cdot (lim_{y \to - 1} y + 1)}$

Etapa 3.1.3.7.3

Avalie o limite de $y$ substituindo $- 1$ por $y$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot (4 + 3 \cdot - 1) \cdot (- 1 + 1)}$

Etapa 3.1.3.8

Simplifique a resposta.

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Etapa 3.1.3.8.1

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot (4 - 3) \cdot (- 1 + 1)}$

Etapa 3.1.3.8.2

Subtraia $3$ de $4$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot 1 \cdot (- 1 + 1)}$

Etapa 3.1.3.8.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot (- 1 + 1)}$

Etapa 3.1.3.8.4

Some $- 1$ e $1$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot 0}$

Etapa 3.1.3.8.5

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 3.1.3.8.6

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 3.1.3.9

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 3.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 3.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{y \to - 1} \frac{4 y + 4}{y (4 + 3 y) (y + 1)} = lim_{y \to - 1} \frac{\frac{d}{d y} [4 y + 4]}{\frac{d}{d y} [y (4 + 3 y) (y + 1)]}$

Etapa 3.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{y \to - 1} \frac{\frac{d}{d y} [4 y + 4]}{\frac{d}{d y} [y (4 + 3 y) (y + 1)]}$

Etapa 3.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 y + 4$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [4 y] + \frac{d}{d y} [4]$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{\frac{d}{d y} [4 y] + \frac{d}{d y} [4]}{\frac{d}{d y} [y (4 + 3 y) (y + 1)]}$

Etapa 3.3.3

Avalie $\frac{d}{d y} [4 y]$ .

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Etapa 3.3.3.1

Como $4$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $4 y$ em relação a $y$ é $4 \frac{d}{d y} [y]$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{4 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [4]}{\frac{d}{d y} [y (4 + 3 y) (y + 1)]}$

Etapa 3.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{4 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [4]}{\frac{d}{d y} [y (4 + 3 y) (y + 1)]}$

Etapa 3.3.3.3

Multiplique $4$ por $1$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{4 + \frac{d}{d y} [4]}{\frac{d}{d y} [y (4 + 3 y) (y + 1)]}$

Etapa 3.3.4

Como $4$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $4$ em relação a $y$ é $0$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{4 + 0}{\frac{d}{d y} [y (4 + 3 y) (y + 1)]}$

Etapa 3.3.5

Some $4$ e $0$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{4}{\frac{d}{d y} [y (4 + 3 y) (y + 1)]}$

Etapa 3.3.6

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ é $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , em que $f (y) = y (4 + 3 y)$ e $g (y) = y + 1$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{4}{y (4 + 3 y) \frac{d}{d y} [y + 1] + (y + 1) \frac{d}{d y} [y (4 + 3 y)]}$

Etapa 3.3.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y + 1$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{4}{y (4 + 3 y) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]) + (y + 1) \frac{d}{d y} [y (4 + 3 y)]}$

Etapa 3.3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{4}{y (4 + 3 y) (1 + \frac{d}{d y} [1]) + (y + 1) \frac{d}{d y} [y (4 + 3 y)]}$

Etapa 3.3.9

Como $1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $1$ em relação a $y$ é $0$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{4}{y (4 + 3 y) (1 + 0) + (y + 1) \frac{d}{d y} [y (4 + 3 y)]}$

Etapa 3.3.10

Some $1$ e $0$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{4}{y (4 + 3 y) \cdot 1 + (y + 1) \frac{d}{d y} [y (4 + 3 y)]}$

Etapa 3.3.11

Multiplique $y$ por $1$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{4}{y (4 + 3 y) + (y + 1) \frac{d}{d y} [y (4 + 3 y)]}$

Etapa 3.3.12

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ é $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , em que $f (y) = y$ e $g (y) = 4 + 3 y$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{4}{y (4 + 3 y) + (y + 1) (y \frac{d}{d y} [4 + 3 y] + (4 + 3 y) \frac{d}{d y} [y])}$

Etapa 3.3.13

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 + 3 y$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [4] + \frac{d}{d y} [3 y]$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{4}{y (4 + 3 y) + (y + 1) (y (\frac{d}{d y} [4] + \frac{d}{d y} [3 y]) + (4 + 3 y) \frac{d}{d y} [y])}$

Etapa 3.3.14

Como $4$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $4$ em relação a $y$ é $0$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{4}{y (4 + 3 y) + (y + 1) (y (0 + \frac{d}{d y} [3 y]) + (4 + 3 y) \frac{d}{d y} [y])}$

Etapa 3.3.15

Some $0$ e $\frac{d}{d y} [3 y]$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{4}{y (4 + 3 y) + (y + 1) (y \frac{d}{d y} [3 y] + (4 + 3 y) \frac{d}{d y} [y])}$

Etapa 3.3.16

Como $3$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $3 y$ em relação a $y$ é $3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{4}{y (4 + 3 y) + (y + 1) (y (3 \frac{d}{d y} [y]) + (4 + 3 y) \frac{d}{d y} [y])}$

Etapa 3.3.17

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{4}{y (4 + 3 y) + (y + 1) (y (3 \cdot 1) + (4 + 3 y) \frac{d}{d y} [y])}$

Etapa 3.3.18

Multiplique $3$ por $1$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{4}{y (4 + 3 y) + (y + 1) (y \cdot 3 + (4 + 3 y) \frac{d}{d y} [y])}$

Etapa 3.3.19

Mova $3$ para a esquerda de $y$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{4}{y (4 + 3 y) + (y + 1) (3 \cdot y + (4 + 3 y) \frac{d}{d y} [y])}$

Etapa 3.3.20

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{4}{y (4 + 3 y) + (y + 1) (3 y + (4 + 3 y) \cdot 1)}$

Etapa 3.3.21

Multiplique $4 + 3 y$ por $1$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{4}{y (4 + 3 y) + (y + 1) (3 y + 4 + 3 y)}$

Etapa 3.3.22

Some $3 y$ e $3 y$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{4}{y (4 + 3 y) + (y + 1) (6 y + 4)}$

Etapa 3.3.23

Simplifique.

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Etapa 3.3.23.1

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{y \to - 1} \frac{4}{y \cdot 4 + y (3 y) + (y + 1) (6 y + 4)}$

Etapa 3.3.23.2

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{y \to - 1} \frac{4}{y \cdot 4 + y (3 y) + (y + 1) (6 y) + (y + 1) \cdot 4}$

Etapa 3.3.23.3

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{y \to - 1} \frac{4}{y \cdot 4 + y (3 y) + y (6 y) + 1 (6 y) + (y + 1) \cdot 4}$

Etapa 3.3.23.4

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{y \to - 1} \frac{4}{y \cdot 4 + y (3 y) + y (6 y) + 1 (6 y) + y \cdot 4 + 1 \cdot 4}$

Etapa 3.3.23.5

Combine os termos.

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Etapa 3.3.23.5.1

Mova $4$ para a esquerda de $y$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{4}{4 \cdot y + y (3 y) + y (6 y) + 1 (6 y) + y \cdot 4 + 1 \cdot 4}$

Etapa 3.3.23.5.2

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{4}{4 y + 3 (y^{1} y) + y (6 y) + 1 (6 y) + y \cdot 4 + 1 \cdot 4}$

Etapa 3.3.23.5.3

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{4}{4 y + 3 (y^{1} y^{1}) + y (6 y) + 1 (6 y) + y \cdot 4 + 1 \cdot 4}$

Etapa 3.3.23.5.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$lim_{y \to - 1} \frac{4}{4 y + 3 y^{1 + 1} + y (6 y) + 1 (6 y) + y \cdot 4 + 1 \cdot 4}$

Etapa 3.3.23.5.5

Some $1$ e $1$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{4}{4 y + 3 y^{2} + y (6 y) + 1 (6 y) + y \cdot 4 + 1 \cdot 4}$

Etapa 3.3.23.5.6

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{4}{4 y + 3 y^{2} + 6 (y^{1} y) + 1 (6 y) + y \cdot 4 + 1 \cdot 4}$

Etapa 3.3.23.5.7

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{4}{4 y + 3 y^{2} + 6 (y^{1} y^{1}) + 1 (6 y) + y \cdot 4 + 1 \cdot 4}$

Etapa 3.3.23.5.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$lim_{y \to - 1} \frac{4}{4 y + 3 y^{2} + 6 y^{1 + 1} + 1 (6 y) + y \cdot 4 + 1 \cdot 4}$

Etapa 3.3.23.5.9

Some $1$ e $1$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{4}{4 y + 3 y^{2} + 6 y^{2} + 1 (6 y) + y \cdot 4 + 1 \cdot 4}$

Etapa 3.3.23.5.10

Multiplique $6$ por $1$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{4}{4 y + 3 y^{2} + 6 y^{2} + 6 y + y \cdot 4 + 1 \cdot 4}$

Etapa 3.3.23.5.11

Mova $4$ para a esquerda de $y$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{4}{4 y + 3 y^{2} + 6 y^{2} + 6 y + 4 \cdot y + 1 \cdot 4}$

Etapa 3.3.23.5.12

Multiplique $4$ por $1$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{4}{4 y + 3 y^{2} + 6 y^{2} + 6 y + 4 y + 4}$

Etapa 3.3.23.5.13

Some $6 y$ e $4 y$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{4}{4 y + 3 y^{2} + 6 y^{2} + 10 y + 4}$

Etapa 3.3.23.5.14

Some $3 y^{2}$ e $6 y^{2}$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{4}{4 y + 9 y^{2} + 10 y + 4}$

Etapa 3.3.23.5.15

Some $4 y$ e $10 y$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{4}{9 y^{2} + 14 y + 4}$

Etapa 4

Avalie o limite.

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Etapa 4.1

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $y$ .

$4 lim_{y \to - 1} \frac{1}{9 y^{2} + 14 y + 4}$

Etapa 4.2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $y$ se aproxima de $- 1$ .

$4 \frac{lim_{y \to - 1} 1}{lim_{y \to - 1} 9 y^{2} + 14 y + 4}$

Etapa 4.3

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $y$ se aproxima de $- 1$ .

$4 \frac{1}{lim_{y \to - 1} 9 y^{2} + 14 y + 4}$

Etapa 4.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $y$ se aproxima de $- 1$ .

$4 \frac{1}{lim_{y \to - 1} 9 y^{2} + lim_{y \to - 1} 14 y + lim_{y \to - 1} 4}$

Etapa 4.5

Mova o termo $9$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $y$ .

$4 \frac{1}{9 lim_{y \to - 1} y^{2} + lim_{y \to - 1} 14 y + lim_{y \to - 1} 4}$

Etapa 4.6

Mova o expoente $2$ de $y^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$4 \frac{1}{9 {(lim_{y \to - 1} y)}^{2} + lim_{y \to - 1} 14 y + lim_{y \to - 1} 4}$

Etapa 4.7

Mova o termo $14$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $y$ .

$4 \frac{1}{9 {(lim_{y \to - 1} y)}^{2} + 14 lim_{y \to - 1} y + lim_{y \to - 1} 4}$

Etapa 4.8

Avalie o limite de $4$ , que é constante à medida que $y$ se aproxima de $- 1$ .

$4 \frac{1}{9 {(lim_{y \to - 1} y)}^{2} + 14 lim_{y \to - 1} y + 4}$

Etapa 5

Avalie os limites substituindo $- 1$ por todas as ocorrências de $y$ .

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Etapa 5.1

Avalie o limite de $y$ substituindo $- 1$ por $y$ .

$4 \frac{1}{9 {(- 1)}^{2} + 14 lim_{y \to - 1} y + 4}$

Etapa 5.2

Avalie o limite de $y$ substituindo $- 1$ por $y$ .

$4 \frac{1}{9 {(- 1)}^{2} + 14 \cdot - 1 + 4}$

Etapa 6

Simplifique a resposta.

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Etapa 6.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 6.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$4 \frac{1}{9 \cdot 1 + 14 \cdot - 1 + 4}$

Etapa 6.1.2

Multiplique $9$ por $1$ .

$4 \frac{1}{9 + 14 \cdot - 1 + 4}$

Etapa 6.1.3

Multiplique $14$ por $- 1$ .

$4 \frac{1}{9 - 14 + 4}$

Etapa 6.1.4

Subtraia $14$ de $9$ .

$4 \frac{1}{- 5 + 4}$

Etapa 6.1.5

Some $- 5$ e $4$ .

$4 (\frac{1}{- 1})$

Etapa 6.2

Divida $1$ por $- 1$ .

$4 \cdot - 1$

Etapa 6.3

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$- 4$