Cálculo Exemplos

$y = \frac{4 x^{2} - 16}{x - 2}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 4 x^{2} - 16$ e $g (x) = x - 2$ .

$\frac{(x - 2) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 16] - (4 x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.2

Diferencie.

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Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x^{2} - 16$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$\frac{(x - 2) (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]) - (4 x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.2.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{2}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(x - 2) (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]) - (4 x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(x - 2) (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 16]) - (4 x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.2.4

Multiplique $2$ por $4$ .

$\frac{(x - 2) (8 x + \frac{d}{d x} [- 16]) - (4 x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.2.5

Como $- 16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 16$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x - 2) (8 x + 0) - (4 x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.2.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.2.6.1

Some $8 x$ e $0$ .

$\frac{(x - 2) (8 x) - (4 x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.2.6.2

Mova $8$ para a esquerda de $x - 2$ .

$\frac{8 \cdot (x - 2) x - (4 x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.2.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{8 (x - 2) x - (4 x^{2} - 16) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{8 (x - 2) x - (4 x^{2} - 16) (1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.2.9

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{8 (x - 2) x - (4 x^{2} - 16) (1 + 0)}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.2.10

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.2.10.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{8 (x - 2) x - (4 x^{2} - 16) \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.2.10.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{8 (x - 2) x - (4 x^{2} - 16)}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(8 x + 8 \cdot - 2) x - (4 x^{2} - 16)}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{8 x \cdot x + 8 \cdot - 2 x - (4 x^{2} - 16)}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{8 x \cdot x + 8 \cdot - 2 x - (4 x^{2}) - - 16}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.3.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.3.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.4.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.3.4.1.1.1

Mova $x$ .

$\frac{8 (x \cdot x) + 8 \cdot - 2 x - (4 x^{2}) - - 16}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.3.4.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{8 x^{2} + 8 \cdot - 2 x - (4 x^{2}) - - 16}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.3.4.1.2

Multiplique $8$ por $- 2$ .

$\frac{8 x^{2} - 16 x - (4 x^{2}) - - 16}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.3.4.1.3

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\frac{8 x^{2} - 16 x - 4 x^{2} - - 16}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.3.4.1.4

Multiplique $- 1$ por $- 16$ .

$\frac{8 x^{2} - 16 x - 4 x^{2} + 16}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.3.4.2

Subtraia $4 x^{2}$ de $8 x^{2}$ .

$\frac{4 x^{2} - 16 x + 16}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.3.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.3.5.1

Fatore $4$ de $4 x^{2} - 16 x + 16$ .

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Etapa 1.3.5.1.1

Fatore $4$ de $4 x^{2}$ .

$\frac{4 (x^{2}) - 16 x + 16}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.3.5.1.2

Fatore $4$ de $- 16 x$ .

$\frac{4 (x^{2}) + 4 (- 4 x) + 16}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.3.5.1.3

Fatore $4$ de $16$ .

$\frac{4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.3.5.1.4

Fatore $4$ de $4 x^{2} + 4 (- 4 x)$ .

$\frac{4 (x^{2} - 4 x) + 4 \cdot 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.3.5.1.5

Fatore $4$ de $4 (x^{2} - 4 x) + 4 \cdot 4$ .

$\frac{4 (x^{2} - 4 x + 4)}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.3.5.2

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 1.3.5.2.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{4 (x^{2} - 4 x + 2^{2})}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.3.5.2.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Etapa 1.3.5.2.3

Reescreva o polinômio.

$\frac{4 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2})}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.3.5.2.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , em que $a = x$ e $b = 2$ .

$\frac{4 {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.3.6

Cancele o fator comum de ${(x - 2)}^{2}$ .

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Etapa 1.3.6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.3.6.2

Divida $4$ por $1$ .

$f' (x) = 4$

Etapa 2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 0$