Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{2}{x^{4} - 16}$ on interval $(- 2, 2)$

Etapa 1

Encontre os pontos críticos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{2}{x^{4} - 16}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4} - 16}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4} - 16}]$

Etapa 1.1.1.1.2

Reescreva $\frac{1}{x^{4} - 16}$ como ${(x^{4} - 16)}^{- 1}$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(x^{4} - 16)}^{- 1}]$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{4} - 16$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{4} - 16$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4} - 16])$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 16])$

Etapa 1.1.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{4} - 16$ .

$2 (- {(x^{4} - 16)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 16])$

Etapa 1.1.1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 2 ({(x^{4} - 16)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 16])$

Etapa 1.1.1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} - 16$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$- 2 {(x^{4} - 16)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16])$

Etapa 1.1.1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$- 2 {(x^{4} - 16)}^{- 2} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 16])$

Etapa 1.1.1.3.4

Como $- 16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 16$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 2 {(x^{4} - 16)}^{- 2} (4 x^{3} + 0)$

Etapa 1.1.1.3.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.5.1

Some $4 x^{3}$ e $0$ .

$- 2 {(x^{4} - 16)}^{- 2} (4 x^{3})$

Etapa 1.1.1.3.5.2

Multiplique $4$ por $- 2$ .

$- 8 {(x^{4} - 16)}^{- 2} x^{3}$

Etapa 1.1.1.4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 8 \frac{1}{{(x^{4} - 16)}^{2}} x^{3}$

Etapa 1.1.1.5

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.5.1

Combine $- 8$ e $\frac{1}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ .

$\frac{- 8}{{(x^{4} - 16)}^{2}} x^{3}$

Etapa 1.1.1.5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{8}{{(x^{4} - 16)}^{2}} x^{3}$

Etapa 1.1.1.5.3

Combine $x^{3}$ e $\frac{8}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ .

$- \frac{x^{3} \cdot 8}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.5.4

Mova $8$ para a esquerda de $x^{3}$ .

$f' (x) = - \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ .

$- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}} = 0$

Etapa 1.2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$8 x^{3} = 0$

Etapa 1.2.3

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Divida cada termo em $8 x^{3} = 0$ por $8$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1.1

Divida cada termo em $8 x^{3} = 0$ por $8$ .

$\frac{8 x^{3}}{8} = \frac{0}{8}$

Etapa 1.2.3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1.2.1

Cancele o fator comum de $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{8 x^{3}}{8} = \frac{0}{8}$

Etapa 1.2.3.1.2.1.2

Divida $x^{3}$ por $1$ .

$x^{3} = \frac{0}{8}$

Etapa 1.2.3.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1.3.1

Divida $0$ por $8$ .

$x^{3} = 0$

Etapa 1.2.3.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \sqrt[3]{0}$

Etapa 1.2.3.3

Simplifique $\sqrt[3]{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.3.1

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Etapa 1.2.3.3.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$x = 0$

Etapa 1.3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Defina o denominador em $\frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

${(x^{4} - 16)}^{2} = 0$

Etapa 1.3.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1.1

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

${({(x^{2})}^{2} - 16)}^{2} = 0$

Etapa 1.3.2.1.2

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

${({(x^{2})}^{2} - 4^{2})}^{2} = 0$

Etapa 1.3.2.1.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x^{2}$ e $b = 4$ .

${((x^{2} + 4) (x^{2} - 4))}^{2} = 0$

Etapa 1.3.2.1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1.4.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

${((x^{2} + 4) (x^{2} - 2^{2}))}^{2} = 0$

Etapa 1.3.2.1.4.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1.4.2.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 2$ .

${((x^{2} + 4) ((x + 2) (x - 2)))}^{2} = 0$

Etapa 1.3.2.1.4.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

${((x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2))}^{2} = 0$

Etapa 1.3.2.1.5

Aplique a regra do produto a $(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)$ .

${((x^{2} + 4) (x + 2))}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

Etapa 1.3.2.1.6

Aplique a regra do produto a $(x^{2} + 4) (x + 2)$ .

${(x^{2} + 4)}^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

Etapa 1.3.2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

${(x^{2} + 4)}^{2} = 0$

${(x + 2)}^{2} = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

Etapa 1.3.2.3

Defina ${(x^{2} + 4)}^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.3.1

Defina ${(x^{2} + 4)}^{2}$ como igual a $0$ .

${(x^{2} + 4)}^{2} = 0$

Etapa 1.3.2.3.2

Resolva ${(x^{2} + 4)}^{2} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.3.2.1

Defina $x^{2} + 4$ como igual a $0$ .

$x^{2} + 4 = 0$

Etapa 1.3.2.3.2.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.3.2.2.1

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$x^{2} = - 4$

Etapa 1.3.2.3.2.2.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

Etapa 1.3.2.3.2.2.3

Simplifique $\pm \sqrt{- 4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.3.2.2.3.1

Reescreva $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Etapa 1.3.2.3.2.2.3.2

Reescreva $\sqrt{- 1 (4)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Etapa 1.3.2.3.2.2.3.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Etapa 1.3.2.3.2.2.3.4

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Etapa 1.3.2.3.2.2.3.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm i \cdot 2$

Etapa 1.3.2.3.2.2.3.6

Mova $2$ para a esquerda de $i$ .

$x = \pm 2 i$

Etapa 1.3.2.3.2.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.3.2.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 2 i$

Etapa 1.3.2.3.2.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 2 i$

Etapa 1.3.2.3.2.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 2 i, - 2 i$

Etapa 1.3.2.4

Defina ${(x + 2)}^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.4.1

Defina ${(x + 2)}^{2}$ como igual a $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

Etapa 1.3.2.4.2

Resolva ${(x + 2)}^{2} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.4.2.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 1.3.2.4.2.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 1.3.2.5

Defina ${(x - 2)}^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.5.1

Defina ${(x - 2)}^{2}$ como igual a $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Etapa 1.3.2.5.2

Resolva ${(x - 2)}^{2} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.5.2.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 1.3.2.5.2.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 1.3.2.6

A solução final são todos os valores que tornam ${(x^{2} + 4)}^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$ verdadeiro.

$x = 2 i, - 2 i, - 2, 2$

Etapa 1.3.3

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

$x = - 2, x = 2$

Etapa 1.4

Avalie $\frac{2}{x^{4} - 16}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Avalie em $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.1

Substitua $0$ por $x$ .

$\frac{2}{{(0)}^{4} - 16}$

Etapa 1.4.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{2}{0 - 16}$

Etapa 1.4.1.2.1.2

Subtraia $16$ de $0$ .

$\frac{2}{- 16}$

Etapa 1.4.1.2.2

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ e $- 16$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.2.1.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (1)}{- 16}$

Etapa 1.4.1.2.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.2.1.2.1

Fatore $2$ de $- 16$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 8}$

Etapa 1.4.1.2.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 8}$

Etapa 1.4.1.2.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{- 8}$

Etapa 1.4.1.2.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{8}$

Etapa 1.4.2

Avalie em $x = - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Substitua $- 2$ por $x$ .

$\frac{2}{{(- 2)}^{4} - 16}$

Etapa 1.4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1

Eleve $- 2$ à potência de $4$ .

$\frac{2}{16 - 16}$

Etapa 1.4.2.2.2

Subtraia $16$ de $16$ .

$\frac{2}{0}$

Etapa 1.4.2.2.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 1.4.3

Avalie em $x = 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.1

Substitua $2$ por $x$ .

$\frac{2}{{(2)}^{4} - 16}$

Etapa 1.4.3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.2.1

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$\frac{2}{16 - 16}$

Etapa 1.4.3.2.2

Subtraia $16$ de $16$ .

$\frac{2}{0}$

Etapa 1.4.3.2.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 1.4.4

Liste todos os pontos.

$(0, - \frac{1}{8})$

Etapa 2

Use o teste da primeira derivada para determinar quais pontos podem ser máximos ou mínimos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a primeira derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 2.2

Substitua qualquer número, como $- 4$ , do intervalo $(- \infty, 0)$ na primeira derivada $- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Substitua a variável $x$ por $- 4$ na expressão.

$f' (- 4) = - \frac{8 {(- 4)}^{3}}{{({(- 4)}^{4} - 16)}^{2}}$

Etapa 2.2.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Eleve $- 4$ à potência de $3$ .

$f' (- 4) = - \frac{8 \cdot - 64}{{({(- 4)}^{4} - 16)}^{2}}$

Etapa 2.2.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.2.1

Eleve $- 4$ à potência de $4$ .

$f' (- 4) = - \frac{8 \cdot - 64}{{(256 - 16)}^{2}}$

Etapa 2.2.2.2.2

Subtraia $16$ de $256$ .

$f' (- 4) = - \frac{8 \cdot - 64}{240^{2}}$

Etapa 2.2.2.2.3

Eleve $240$ à potência de $2$ .

$f' (- 4) = - \frac{8 \cdot - 64}{57600}$

Etapa 2.2.2.3

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.3.1

Multiplique $8$ por $- 64$ .

$f' (- 4) = - \frac{- 512}{57600}$

Etapa 2.2.2.3.2

Cancele o fator comum de $- 512$ e $57600$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.3.2.1

Fatore $256$ de $- 512$ .

$f' (- 4) = - \frac{256 (- 2)}{57600}$

Etapa 2.2.2.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.3.2.2.1

Fatore $256$ de $57600$ .

$f' (- 4) = - \frac{256 \cdot - 2}{256 \cdot 225}$

Etapa 2.2.2.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$f' (- 4) = - \frac{256 \cdot - 2}{256 \cdot 225}$

Etapa 2.2.2.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$f' (- 4) = - \frac{- 2}{225}$

Etapa 2.2.2.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (- 4) = \frac{2}{225}$

Etapa 2.2.2.4

A resposta final é $\frac{2}{225}$ .

$\frac{2}{225}$

Etapa 2.3

Substitua qualquer número, como $1$ , do intervalo $(0, \infty)$ na primeira derivada $- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f' (1) = - \frac{8 {(1)}^{3}}{{({(1)}^{4} - 16)}^{2}}$

Etapa 2.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (1) = - \frac{8 \cdot 1}{{(1^{4} - 16)}^{2}}$

Etapa 2.3.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (1) = - \frac{8 \cdot 1}{{(1 - 16)}^{2}}$

Etapa 2.3.2.2.2

Subtraia $16$ de $1$ .

$f' (1) = - \frac{8 \cdot 1}{{(- 15)}^{2}}$

Etapa 2.3.2.2.3

Eleve $- 15$ à potência de $2$ .

$f' (1) = - \frac{8 \cdot 1}{225}$

Etapa 2.3.2.3

Multiplique $8$ por $1$ .

$f' (1) = - \frac{8}{225}$

Etapa 2.3.2.4

A resposta final é $- \frac{8}{225}$ .

$- \frac{8}{225}$

Etapa 2.4

Como a primeira derivada mudou os sinais de positivo para negativo em torno de $x = 0$ , então $x = 0$ é um máximo local.

$x = 0$ é um máximo local

Etapa 3

Compare os valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar o máximo e mínimo absolutos no intervalo determinado. O máximo ocorrerá no valor mais alto de $f (x)$ , e o mínimo ocorrerá no valor mais baixo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(0, - \frac{1}{8})$

Nenhum mínimo absoluto

Etapa 4