Cálculo Exemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{2 - 15 e^{- 5 x}}{\frac{1}{x} + 4 \cos (\frac{5}{x})}$

Etapa 1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 - 15 e^{- 5 x}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + 4 \cos (\frac{5}{x})}$

Etapa 1.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 - lim_{x \to \infty} 15 e^{- 5 x}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + 4 \cos (\frac{5}{x})}$

Etapa 1.3

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{2 - lim_{x \to \infty} 15 e^{- 5 x}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + 4 \cos (\frac{5}{x})}$

Etapa 1.4

Mova o termo $15$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{2 - 15 lim_{x \to \infty} e^{- 5 x}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + 4 \cos (\frac{5}{x})}$

Etapa 2

Como o expoente $- 5 x$ se aproxima de $- \infty$ , a quantidade $e^{- 5 x}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{2 - 15 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + 4 \cos (\frac{5}{x})}$

Etapa 3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{2 - 15 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} 4 \cos (\frac{5}{x})}$

Etapa 4

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{2 - 15 \cdot 0}{0 + lim_{x \to \infty} 4 \cos (\frac{5}{x})}$

Etapa 5

Avalie o limite.

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Etapa 5.1

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{2 - 15 \cdot 0}{0 + 4 lim_{x \to \infty} \cos (\frac{5}{x})}$

Etapa 5.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{2 - 15 \cdot 0}{0 + 4 \cos (lim_{x \to \infty} \frac{5}{x})}$

Etapa 5.3

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{2 - 15 \cdot 0}{0 + 4 \cos (5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}$

Etapa 6

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{2 - 15 \cdot 0}{0 + 4 \cos (5 \cdot 0)}$

Etapa 7

Simplifique a resposta.

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Etapa 7.1

Cancele o fator comum de $2 - 15 \cdot 0$ e $0 + 4 \cos (5 \cdot 0)$ .

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Etapa 7.1.1

Reescreva $2$ como $- 1 (- 2)$ .

$\frac{- 1 (- 2) - 15 \cdot 0}{0 + 4 \cos (5 \cdot 0)}$

Etapa 7.1.2

Fatore $- 1$ de $- 15 \cdot 0$ .

$\frac{- 1 (- 2) - (15 \cdot 0)}{0 + 4 \cos (5 \cdot 0)}$

Etapa 7.1.3

Fatore $- 1$ de $- 1 (- 2) - (15 \cdot 0)$ .

$\frac{- 1 (- 2 + 15 \cdot 0)}{0 + 4 \cos (5 \cdot 0)}$

Etapa 7.1.4

Reordene os termos.

$\frac{- 1 (- 2 + 0 \cdot 15)}{0 + 4 \cos (5 \cdot 0)}$

Etapa 7.1.5

Fatore $2$ de $- 1 (- 2 + 0 \cdot 15)$ .

$\frac{2 (- 1 (- 1 + 0 \cdot 15))}{0 + 4 \cos (5 \cdot 0)}$

Etapa 7.1.6

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 7.1.6.1

Fatore $2$ de $0$ .

$\frac{2 (- 1 (- 1 + 0 \cdot 15))}{2 (0) + 4 \cos (5 \cdot 0)}$

Etapa 7.1.6.2

Fatore $2$ de $4 \cos (5 \cdot 0)$ .

$\frac{2 (- 1 (- 1 + 0 \cdot 15))}{2 (0) + 2 (2 \cos (5 \cdot 0))}$

Etapa 7.1.6.3

Fatore $2$ de $2 (0) + 2 (2 \cos (5 \cdot 0))$ .

$\frac{2 (- 1 (- 1 + 0 \cdot 15))}{2 (0 + 2 \cos (5 \cdot 0))}$

Etapa 7.1.6.4

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (- 1 (- 1 + 0 \cdot 15))}{2 (0 + 2 \cos (5 \cdot 0))}$

Etapa 7.1.6.5

Reescreva a expressão.

$\frac{- 1 (- 1 + 0 \cdot 15)}{0 + 2 \cos (5 \cdot 0)}$

Etapa 7.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.2.1

Multiplique $0$ por $15$ .

$\frac{- 1 (- 1 + 0)}{0 + 2 \cos (5 \cdot 0)}$

Etapa 7.2.2

Some $- 1$ e $0$ .

$\frac{- 1 \cdot - 1}{0 + 2 \cos (5 \cdot 0)}$

Etapa 7.3

Simplifique o denominador.

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Etapa 7.3.1

Multiplique $5$ por $0$ .

$\frac{- 1 \cdot - 1}{0 + 2 \cos (0)}$

Etapa 7.3.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{- 1 \cdot - 1}{0 + 2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{- 1 \cdot - 1}{0 + 2}$

Etapa 7.3.4

Some $0$ e $2$ .

$\frac{- 1 \cdot - 1}{2}$

Etapa 7.4

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2}$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{1}{2}$

Forma decimal:

$0.5$