Cálculo Exemplos

$S (t) = 2 t^{\frac{3}{2}} - 9 t + 6$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 t^{\frac{3}{2}} - 9 t + 6$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [2 t^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [6]$ .

$\frac{d}{d t} [2 t^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [6]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d t} [2 t^{\frac{3}{2}}]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $2$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $2 t^{\frac{3}{2}}$ em relação a $t$ é $2 \frac{d}{d t} [t^{\frac{3}{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [6]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = \frac{3}{2}$ .

$2 (\frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [6]$

Etapa 1.2.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [6]$

Etapa 1.2.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [6]$

Etapa 1.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 (\frac{3}{2} t^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [6]$

Etapa 1.2.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.2.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$2 (\frac{3}{2} t^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [6]$

Etapa 1.2.6.2

Subtraia $2$ de $3$ .

$2 (\frac{3}{2} t^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [6]$

Etapa 1.2.7

Combine $\frac{3}{2}$ e $t^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [6]$

Etapa 1.2.8

Combine $2$ e $\frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 (3 t^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [6]$

Etapa 1.2.9

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{6 t^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [6]$

Etapa 1.2.10

Fatore $2$ de $6 t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (3 t^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [6]$

Etapa 1.2.11

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.2.11.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (3 t^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [6]$

Etapa 1.2.11.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (3 t^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [6]$

Etapa 1.2.11.3

Reescreva a expressão.

$\frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{1} + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [6]$

Etapa 1.2.11.4

Divida $3 t^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$3 t^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [6]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d t} [- 9 t]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $- 9$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 9 t$ em relação a $t$ é $- 9 \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 t^{\frac{1}{2}} - 9 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [6]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 t^{\frac{1}{2}} - 9 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [6]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $- 9$ por $1$ .

$3 t^{\frac{1}{2}} - 9 + \frac{d}{d t} [6]$

Etapa 1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.4.1

Como $6$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $6$ em relação a $t$ é $0$ .

$3 t^{\frac{1}{2}} - 9 + 0$

Etapa 1.4.2

Some $3 t^{\frac{1}{2}} - 9$ e $0$ .

$f' (t) = 3 t^{\frac{1}{2}} - 9$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 t^{\frac{1}{2}} - 9$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [3 t^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 9]$ .

$\frac{d}{d t} [3 t^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 9]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d t} [3 t^{\frac{1}{2}}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $3$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $3 t^{\frac{1}{2}}$ em relação a $t$ é $3 \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ .

$3 \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 9]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d t} [- 9]$

Etapa 2.2.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d t} [- 9]$

Etapa 2.2.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d t} [- 9]$

Etapa 2.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$3 (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d t} [- 9]$

Etapa 2.2.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.2.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$3 (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d t} [- 9]$

Etapa 2.2.6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$3 (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d t} [- 9]$

Etapa 2.2.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$3 (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d t} [- 9]$

Etapa 2.2.8

Combine $\frac{1}{2}$ e $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$3 \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [- 9]$

Etapa 2.2.9

Combine $3$ e $\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{3 t^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [- 9]$

Etapa 2.2.10

Mova $t^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- 9]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.3.1

Como $- 9$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 9$ em relação a $t$ é $0$ .

$\frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 0$

Etapa 2.3.2

Some $\frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ e $0$ .

$f'' (t) = \frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 3

A segunda derivada de $S (t)$ com relação a $t$ é $\frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}}$