Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{3^{2 x} - 1}{3^{x + 2} - 9}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} 3^{2 x} - 1}{lim_{x \to 0} 3^{x + 2} - 9}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 3^{2 x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 3^{x + 2} - 9}$

Etapa 1.1.2.1.2

Mova o limite para o expoente.

$\frac{3^{lim_{x \to 0} 2 x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 3^{x + 2} - 9}$

Etapa 1.1.2.1.3

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{3^{2 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 3^{x + 2} - 9}$

Etapa 1.1.2.1.4

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{3^{2 lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 3^{x + 2} - 9}$

Etapa 1.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{3^{2 \cdot 0} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 3^{x + 2} - 9}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.2.3.1.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{3^{0} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 3^{x + 2} - 9}$

Etapa 1.1.2.3.1.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 3^{x + 2} - 9}$

Etapa 1.1.2.3.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} 3^{x + 2} - 9}$

Etapa 1.1.2.3.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 3^{x + 2} - 9}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 3^{x + 2} - lim_{x \to 0} 9}$

Etapa 1.1.3.1.2

Mova o limite para o expoente.

$\frac{0}{3^{lim_{x \to 0} x + 2} - lim_{x \to 0} 9}$

Etapa 1.1.3.1.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{3^{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 2} - lim_{x \to 0} 9}$

Etapa 1.1.3.1.4

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{3^{lim_{x \to 0} x + 2} - lim_{x \to 0} 9}$

Etapa 1.1.3.1.5

Avalie o limite de $9$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{3^{lim_{x \to 0} x + 2} - 1 \cdot 9}$

Etapa 1.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{3^{0 + 2} - 1 \cdot 9}$

Etapa 1.1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.3.3.1.1

Some $0$ e $2$ .

$\frac{0}{3^{2} - 1 \cdot 9}$

Etapa 1.1.3.3.1.2

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\frac{0}{9 - 1 \cdot 9}$

Etapa 1.1.3.3.1.3

Multiplique $- 1$ por $9$ .

$\frac{0}{9 - 9}$

Etapa 1.1.3.3.2

Subtraia $9$ de $9$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{3^{2 x} - 1}{3^{x + 2} - 9} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3^{2 x} - 1]}{\frac{d}{d x} [3^{x + 2} - 9]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3^{2 x} - 1]}{\frac{d}{d x} [3^{x + 2} - 9]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3^{2 x} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3^{x + 2} - 9]}$

Etapa 1.3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [3^{2 x}]$ .

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Etapa 1.3.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = 3^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 1.3.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [3^{u}] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3^{x + 2} - 9]}$

Etapa 1.3.3.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3^{u} \ln (3) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3^{x + 2} - 9]}$

Etapa 1.3.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3^{2 x} \ln (3) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3^{x + 2} - 9]}$

Etapa 1.3.3.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3^{2 x} \ln (3) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3^{x + 2} - 9]}$

Etapa 1.3.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3^{2 x} \ln (3) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3^{x + 2} - 9]}$

Etapa 1.3.3.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3^{2 x} \ln (3) \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3^{x + 2} - 9]}$

Etapa 1.3.3.5

Mova $2$ para a esquerda de $3^{2 x} \ln (3)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot 3^{2 x} \ln (3) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3^{x + 2} - 9]}$

Etapa 1.3.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot 3^{2 x} \ln (3) + 0}{\frac{d}{d x} [3^{x + 2} - 9]}$

Etapa 1.3.5

Some $2 \cdot 3^{2 x} \ln (3)$ e $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot 3^{2 x} \ln (3)}{\frac{d}{d x} [3^{x + 2} - 9]}$

Etapa 1.3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3^{x + 2} - 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3^{x + 2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot 3^{2 x} \ln (3)}{\frac{d}{d x} [3^{x + 2}] + \frac{d}{d x} [- 9]}$

Etapa 1.3.7

Avalie $\frac{d}{d x} [3^{x + 2}]$ .

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Etapa 1.3.7.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = 3^{x}$ e $g (x) = x + 2$ .

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Etapa 1.3.7.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot 3^{2 x} \ln (3)}{\frac{d}{d u} [3^{u}] \frac{d}{d x} [x + 2] + \frac{d}{d x} [- 9]}$

Etapa 1.3.7.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot 3^{2 x} \ln (3)}{3^{u} \ln (3) \frac{d}{d x} [x + 2] + \frac{d}{d x} [- 9]}$

Etapa 1.3.7.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot 3^{2 x} \ln (3)}{3^{x + 2} \ln (3) \frac{d}{d x} [x + 2] + \frac{d}{d x} [- 9]}$

Etapa 1.3.7.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot 3^{2 x} \ln (3)}{3^{x + 2} \ln (3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + \frac{d}{d x} [- 9]}$

Etapa 1.3.7.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot 3^{2 x} \ln (3)}{3^{x + 2} \ln (3) (1 + \frac{d}{d x} [2]) + \frac{d}{d x} [- 9]}$

Etapa 1.3.7.4

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot 3^{2 x} \ln (3)}{3^{x + 2} \ln (3) (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 9]}$

Etapa 1.3.7.5

Some $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot 3^{2 x} \ln (3)}{3^{x + 2} \ln (3) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]}$

Etapa 1.3.7.6

Multiplique $3^{x + 2}$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot 3^{2 x} \ln (3)}{3^{x + 2} \ln (3) + \frac{d}{d x} [- 9]}$

Etapa 1.3.8

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 9$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot 3^{2 x} \ln (3)}{3^{x + 2} \ln (3) + 0}$

Etapa 1.3.9

Some $3^{x + 2} \ln (3)$ e $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot 3^{2 x} \ln (3)}{3^{x + 2} \ln (3)}$

Etapa 1.4

Reduza.

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Etapa 1.4.1

Cancele o fator comum de $3^{2 x}$ e $3^{x + 2}$ .

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Etapa 1.4.1.1

Fatore $3^{x + 2}$ de $2 \cdot 3^{2 x} \ln (3)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3^{x + 2} (2 \cdot 3^{2 x - (x + 2)} \ln (3))}{3^{x + 2} \ln (3)}$

Etapa 1.4.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.4.1.2.1

Fatore $3^{x + 2}$ de $3^{x + 2} \ln (3)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3^{x + 2} (2 \cdot 3^{2 x - (x + 2)} \ln (3))}{3^{x + 2} (\ln (3))}$

Etapa 1.4.1.2.2

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to 0} \frac{3^{x + 2} (2 \cdot 3^{2 x - (x + 2)} \ln (3))}{3^{x + 2} \ln (3)}$

Etapa 1.4.1.2.3

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot 3^{2 x - (x + 2)} \ln (3)}{\ln (3)}$

Etapa 1.4.2

Cancele o fator comum de $\ln (3)$ .

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Etapa 1.4.2.1

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot 3^{2 x - (x + 2)} \ln (3)}{\ln (3)}$

Etapa 1.4.2.2

Divida $2 \cdot 3^{2 x - (x + 2)}$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} 2 \cdot 3^{2 x - (x + 2)}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$2 lim_{x \to 0} 3^{2 x - (x + 2)}$

Etapa 2.2

Mova o limite para o expoente.

$2 \cdot 3^{lim_{x \to 0} 2 x - (x + 2)}$

Etapa 3

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 3.1

Avalie o limite de $2 x - (x + 2)$ substituindo $0$ por $x$ .

$2 \cdot 3^{2 \cdot 0 - (0 + 2)}$

Etapa 3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$2 \cdot 3^{0 - (0 + 2)}$

Etapa 3.2.2

Some $0$ e $2$ .

$2 \cdot 3^{0 - 1 \cdot 2}$

Etapa 3.2.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$2 \cdot 3^{0 - 2}$

Etapa 3.3

Subtraia $2$ de $0$ .

$2 \cdot 3^{- 2}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 \cdot \frac{1}{3^{2}}$

Etapa 4.2

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$2 \cdot \frac{1}{9}$

Etapa 4.3

Combine $2$ e $\frac{1}{9}$ .

$\frac{2}{9}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{2}{9}$

Forma decimal:

$0.\overline{2}$