Cálculo Exemplos

$y = \frac{1}{3 x^{5} - 2 x}$

Etapa 1

Reescreva $\frac{1}{3 x^{5} - 2 x}$ como ${(3 x^{5} - 2 x)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(3 x^{5} - 2 x)}^{- 1}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = 3 x^{5} - 2 x$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $3 x^{5} - 2 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [3 x^{5} - 2 x]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [3 x^{5} - 2 x]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x^{5} - 2 x$ .

$- {(3 x^{5} - 2 x)}^{- 2} \frac{d}{d x} [3 x^{5} - 2 x]$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{5} - 2 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$- {(3 x^{5} - 2 x)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Etapa 3.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{5}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- {(3 x^{5} - 2 x)}^{- 2} (3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$- {(3 x^{5} - 2 x)}^{- 2} (3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Etapa 3.4

Multiplique $5$ por $3$ .

$- {(3 x^{5} - 2 x)}^{- 2} (15 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Etapa 3.5

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- {(3 x^{5} - 2 x)}^{- 2} (15 x^{4} - 2 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- {(3 x^{5} - 2 x)}^{- 2} (15 x^{4} - 2 \cdot 1)$

Etapa 3.7

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$- {(3 x^{5} - 2 x)}^{- 2} (15 x^{4} - 2)$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(3 x^{5} - 2 x)}^{2}} (15 x^{4} - 2)$

Etapa 4.2

Reordene os fatores de $- \frac{1}{{(3 x^{5} - 2 x)}^{2}} (15 x^{4} - 2)$ .

$- (15 x^{4} - 2) \frac{1}{{(3 x^{5} - 2 x)}^{2}}$

Etapa 4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(- (15 x^{4}) - - 2) \frac{1}{{(3 x^{5} - 2 x)}^{2}}$

Etapa 4.4

Multiplique $15$ por $- 1$ .

$(- 15 x^{4} - - 2) \frac{1}{{(3 x^{5} - 2 x)}^{2}}$

Etapa 4.5

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$(- 15 x^{4} + 2) \frac{1}{{(3 x^{5} - 2 x)}^{2}}$

Etapa 4.6

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.6.1

Fatore $x$ de $3 x^{5} - 2 x$ .

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Etapa 4.6.1.1

Fatore $x$ de $3 x^{5}$ .

$(- 15 x^{4} + 2) \frac{1}{{(x (3 x^{4}) - 2 x)}^{2}}$

Etapa 4.6.1.2

Fatore $x$ de $- 2 x$ .

$(- 15 x^{4} + 2) \frac{1}{{(x (3 x^{4}) + x \cdot - 2)}^{2}}$

Etapa 4.6.1.3

Fatore $x$ de $x (3 x^{4}) + x \cdot - 2$ .

$(- 15 x^{4} + 2) \frac{1}{{(x (3 x^{4} - 2))}^{2}}$

Etapa 4.6.2

Aplique a regra do produto a $x (3 x^{4} - 2)$ .

$(- 15 x^{4} + 2) \frac{1}{x^{2} {(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Etapa 4.7

Multiplique $- 15 x^{4} + 2$ por $\frac{1}{x^{2} {(3 x^{4} - 2)}^{2}}$ .

$\frac{- 15 x^{4} + 2}{x^{2} {(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Etapa 4.8

Fatore $- 1$ de $- 15 x^{4}$ .

$\frac{- (15 x^{4}) + 2}{x^{2} {(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Etapa 4.9

Reescreva $2$ como $- 1 (- 2)$ .

$\frac{- (15 x^{4}) - 1 (- 2)}{x^{2} {(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Etapa 4.10

Fatore $- 1$ de $- (15 x^{4}) - 1 (- 2)$ .

$\frac{- (15 x^{4} - 2)}{x^{2} {(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Etapa 4.11

Reescreva $- (15 x^{4} - 2)$ como $- 1 (15 x^{4} - 2)$ .

$\frac{- 1 (15 x^{4} - 2)}{x^{2} {(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Etapa 4.12

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{15 x^{4} - 2}{x^{2} {(3 x^{4} - 2)}^{2}}$