Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{2} \frac{x + 1}{\sqrt{x^{2} + 2 x + 1}} d x$

Etapa 1

Deixe $u = x^{2} + 2 x + 1$ . Depois, $d u = (2 x + 2) d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = (x + 1) d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = x^{2} + 2 x + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $x^{2} + 2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 2 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 x + 2 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.1.4.1

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 x + 2 + 0$

Etapa 1.1.4.2

Some $2 x + 2$ e $0$ .

$2 x + 2$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = x^{2} + 2 x + 1$ .

$u_{lower} = 0^{2} + 2 \cdot 0 + 1$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$u_{lower} = 0 + 2 \cdot 0 + 1$

Etapa 1.3.1.2

Multiplique $2$ por $0$ .

$u_{lower} = 0 + 0 + 1$

Etapa 1.3.2

Some $0$ e $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Etapa 1.3.3

Some $0$ e $1$ .

$u_{lower} = 1$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = x^{2} + 2 x + 1$ .

$u_{upper} = 2^{2} + 2 \cdot 2 + 1$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.5.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$u_{upper} = 4 + 2 \cdot 2 + 1$

Etapa 1.5.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$u_{upper} = 4 + 4 + 1$

Etapa 1.5.2

Some $4$ e $4$ .

$u_{upper} = 8 + 1$

Etapa 1.5.3

Some $8$ e $1$ .

$u_{upper} = 9$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 9$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{1}^{9} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{u}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int_{1}^{9} \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

Etapa 2.2

Mova $2$ para a esquerda de $\sqrt{u}$ .

$\int_{1}^{9} \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Etapa 3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{9} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Etapa 4

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{9} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Etapa 4.2

Mova $u^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{9} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Etapa 4.3

Multiplique os expoentes em ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 4.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{9} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Etapa 4.3.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{9} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Etapa 4.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{9} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} 2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{9}$

Etapa 6

Substitua e simplifique.

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Etapa 6.1

Avalie $2 u^{\frac{1}{2}}$ em $9$ e em $1$ .

$\frac{1}{2} ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.2

Simplifique.

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Etapa 6.2.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.2.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{1} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.2.4

Avalie o expoente.

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.2.5

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{1}{2} (6 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.2.6

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{2} (6 - 2 \cdot 1)$

Etapa 6.2.7

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\frac{1}{2} (6 - 2)$

Etapa 6.2.8

Subtraia $2$ de $6$ .

$\frac{1}{2} \cdot 4$

Etapa 6.2.9

Combine $\frac{1}{2}$ e $4$ .

$\frac{4}{2}$

Etapa 6.2.10

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

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Etapa 6.2.10.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2}$

Etapa 6.2.10.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.2.10.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}$

Etapa 6.2.10.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.2.10.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2}{1}$

Etapa 6.2.10.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 7