Cálculo Exemplos

$\int (10^{20 t} - e^{20 t}) d t$

Etapa 1

Remova os parênteses.

$\int 10^{20 t} - e^{20 t} d t$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int 10^{20 t} d t + \int - e^{20 t} d t$

Etapa 3

Deixe $u_{1} = 20 t$ . Depois, $d u_{1} = 20 d t$ , então, $\frac{1}{20} d u_{1} = d t$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 3.1

Deixe $u_{1} = 20 t$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d t}$ .

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Etapa 3.1.1

Diferencie $20 t$ .

$\frac{d}{d t} [20 t]$

Etapa 3.1.2

Como $20$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $20 t$ em relação a $t$ é $20 \frac{d}{d t} [t]$ .

$20 \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 3.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$20 \cdot 1$

Etapa 3.1.4

Multiplique $20$ por $1$ .

$20$

Etapa 3.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int 10^{u_{1}} \cdot \frac{1}{20} d u_{1} + \int - e^{20 t} d t$

Etapa 4

Combine $10^{u_{1}}$ e $\frac{1}{20}$ .

$\int \frac{10^{u_{1}}}{20} d u_{1} + \int - e^{20 t} d t$

Etapa 5

Como $\frac{1}{20}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{20}$ para fora da integral.

$\frac{1}{20} \int 10^{u_{1}} d u_{1} + \int - e^{20 t} d t$

Etapa 6

A integral de $10^{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $\frac{10^{u_{1}}}{\ln (10)}$ .

$\frac{1}{20} (\frac{10^{u_{1}}}{\ln (10)} + C) + \int - e^{20 t} d t$

Etapa 7

Como $- 1$ é constante com relação a $t$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{20} (\frac{10^{u_{1}}}{\ln (10)} + C) - \int e^{20 t} d t$

Etapa 8

Deixe $u_{2} = 20 t$ . Depois, $d u_{2} = 20 d t$ , então, $\frac{1}{20} d u_{2} = d t$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 8.1

Deixe $u_{2} = 20 t$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

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Etapa 8.1.1

Diferencie $20 t$ .

$\frac{d}{d t} [20 t]$

Etapa 8.1.2

Como $20$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $20 t$ em relação a $t$ é $20 \frac{d}{d t} [t]$ .

$20 \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 8.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$20 \cdot 1$

Etapa 8.1.4

Multiplique $20$ por $1$ .

$20$

Etapa 8.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{20} (\frac{10^{u_{1}}}{\ln (10)} + C) - \int e^{u_{2}} \frac{1}{20} d u_{2}$

Etapa 9

Combine $e^{u_{2}}$ e $\frac{1}{20}$ .

$\frac{1}{20} (\frac{10^{u_{1}}}{\ln (10)} + C) - \int \frac{e^{u_{2}}}{20} d u_{2}$

Etapa 10

Como $\frac{1}{20}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{20}$ para fora da integral.

$\frac{1}{20} (\frac{10^{u_{1}}}{\ln (10)} + C) - (\frac{1}{20} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Etapa 11

A integral de $e^{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $e^{u_{2}}$ .

$\frac{1}{20} (\frac{10^{u_{1}}}{\ln (10)} + C) - \frac{1}{20} (e^{u_{2}} + C)$

Etapa 12

Simplifique.

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Etapa 12.1

Simplifique.

$\frac{1 \cdot 10^{u_{1}}}{20 \ln (10)} - \frac{1}{20} e^{u_{2}} + C$

Etapa 12.2

Multiplique $10^{u_{1}}$ por $1$ .

$\frac{10^{u_{1}}}{20 \ln (10)} - \frac{1}{20} e^{u_{2}} + C$

Etapa 13

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 13.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $20 t$ .

$\frac{10^{20 t}}{20 \ln (10)} - \frac{1}{20} e^{u_{2}} + C$

Etapa 13.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $20 t$ .

$\frac{10^{20 t}}{20 \ln (10)} - \frac{1}{20} e^{20 t} + C$

Etapa 14

Combine $e^{20 t}$ e $\frac{1}{20}$ .

$\frac{10^{20 t}}{20 \ln (10)} - \frac{e^{20 t}}{20} + C$

Etapa 15

Reordene os termos.

$\frac{1}{20 \ln (10)} \cdot 10^{20 t} - \frac{1}{20} e^{20 t} + C$