Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{\ln (x)}{x^{2}}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Etapa 1.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 1.3

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{2} \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Combine $x^{2}$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{x^{2}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 1.4.2

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{\frac{x \cdot x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 1.4.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{\frac{x \cdot x}{x^{1}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 1.4.2.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 1.4.2.2.3

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 1.4.2.2.4

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{x}{1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 1.4.2.2.5

Divida $x$ por $1$ .

$\frac{x - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 1.4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{x - \ln (x) (2 x)}{x^{4}}$

Etapa 1.4.4

Simplifique com fatoração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.4.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{x - 2 \ln (x) x}{x^{4}}$

Etapa 1.4.4.2

Fatore $x$ de $x - 2 \ln (x) x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.4.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x^{1} - 2 \ln (x) x}{x^{4}}$

Etapa 1.4.4.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot 1 - 2 \ln (x) x}{x^{4}}$

Etapa 1.4.4.2.3

Fatore $x$ de $- 2 \ln (x) x$ .

$\frac{x \cdot 1 + x (- 2 \ln (x))}{x^{4}}$

Etapa 1.4.4.2.4

Fatore $x$ de $x \cdot 1 + x (- 2 \ln (x))$ .

$\frac{x (1 - 2 \ln (x))}{x^{4}}$

Etapa 1.5

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Fatore $x$ de $x^{4}$ .

$\frac{x (1 - 2 \ln (x))}{x \cdot x^{3}}$

Etapa 1.5.2

Cancele o fator comum.

$\frac{x (1 - 2 \ln (x))}{x \cdot x^{3}}$

Etapa 1.5.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1 - 2 \ln (x)}{x^{3}}$

Etapa 1.6

Simplifique $- 2 \ln (x)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$\frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

$f'' (x) = \frac{x^{3} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x^{2})) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{{(x^{3})}^{2}}$

Etapa 2.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{3})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x^{2})) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{3 \cdot 2}}$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x^{2})) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Etapa 2.2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - \ln (x^{2})$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{2})]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- \ln (x^{2}))) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Etapa 2.2.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} (0 + \frac{d}{d x} (- \ln (x^{2}))) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Etapa 2.2.4

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- \ln (x^{2})]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} \frac{d}{d x} (- \ln (x^{2})) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Etapa 2.2.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \ln (x^{2})$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} (- \frac{d}{d x} \ln (x^{2})) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} (- (\frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (x^{2}))) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Etapa 2.3.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} (- (\frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2}))) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Etapa 2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} (- (\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2}))) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Combine $x^{3}$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{- \frac{x^{3}}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} x^{2} - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Etapa 2.4.2

Cancele o fator comum de $x^{3}$ e $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

Fatore $x^{2}$ de $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- \frac{x^{2} x}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} x^{2} - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Etapa 2.4.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.2.1

Multiplique por $1$ .

$f'' (x) = \frac{- \frac{x^{2} x}{x^{2} \cdot 1} \cdot \frac{d}{d x} x^{2} - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Etapa 2.4.2.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = \frac{- \frac{x^{2} x}{x^{2} \cdot 1} \cdot \frac{d}{d x} x^{2} - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Etapa 2.4.2.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = \frac{- \frac{x}{1} \cdot \frac{d}{d x} x^{2} - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Etapa 2.4.2.2.4

Divida $x$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{- x \frac{d}{d x} x^{2} - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Etapa 2.4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{- x (2 x) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Etapa 2.4.4

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x \cdot x - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Etapa 2.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Etapa 2.6

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Etapa 2.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{1 + 1} - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Etapa 2.8

Some $1$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Etapa 2.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} - (1 - \ln (x^{2})) (3 x^{2})}{x^{6}}$

Etapa 2.10

Simplifique com fatoração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.1

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} - 3 (1 - \ln (x^{2})) x^{2}}{x^{6}}$

Etapa 2.10.2

Fatore $x^{2}$ de $- 2 x^{2} - 3 (1 - \ln (x^{2})) x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.2.1

Fatore $x^{2}$ de $- 2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \cdot - 2 - 3 (1 - \ln (x^{2})) x^{2}}{x^{6}}$

Etapa 2.10.2.2

Fatore $x^{2}$ de $- 3 (1 - \ln (x^{2})) x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \cdot - 2 + x^{2} (- 3 (1 - \ln (x^{2})))}{x^{6}}$

Etapa 2.10.2.3

Fatore $x^{2}$ de $x^{2} \cdot - 2 + x^{2} (- 3 (1 - \ln (x^{2})))$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (- 2 - 3 (1 - \ln (x^{2})))}{x^{6}}$

Etapa 2.11

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.11.1

Fatore $x^{2}$ de $x^{6}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (- 2 - 3 (1 - \ln (x^{2})))}{x^{2} x^{4}}$

Etapa 2.11.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = \frac{x^{2} (- 2 - 3 (1 - \ln (x^{2})))}{x^{2} x^{4}}$

Etapa 2.11.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = \frac{- 2 - 3 (1 - \ln (x^{2}))}{x^{4}}$

Etapa 2.12

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.12.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 - 3 \cdot 1 - 3 (- \ln (x^{2}))}{x^{4}}$

Etapa 2.12.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.12.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.12.2.1.1

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 - 3 - 3 (- \ln (x^{2}))}{x^{4}}$

Etapa 2.12.2.1.2

Multiplique $- 3 (- \ln (x^{2}))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.12.2.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 3$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 - 3 + 3 \ln (x^{2})}{x^{4}}$

Etapa 2.12.2.1.2.2

Simplifique $3 \ln (x^{2})$ movendo $3$ para dentro do logaritmo.

$f'' (x) = \frac{- 2 - 3 + \ln ({(x^{2})}^{3})}{x^{4}}$

Etapa 2.12.2.1.3

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.12.2.1.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 - 3 + \ln (x^{2 \cdot 3})}{x^{4}}$

Etapa 2.12.2.1.3.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 - 3 + \ln (x^{6})}{x^{4}}$

Etapa 2.12.2.2

Subtraia $3$ de $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{- 5 + \ln (x^{6})}{x^{4}}$

Etapa 2.12.3

Reescreva $- 5$ como $- 1 (5)$ .

$f'' (x) = \frac{- 1 \cdot 5 + \ln (x^{6})}{x^{4}}$

Etapa 2.12.4

Fatore $- 1$ de $\ln (x^{6})$ .

$f'' (x) = \frac{- 1 \cdot 5 - 1 (- \ln (x^{6}))}{x^{4}}$

Etapa 2.12.5

Fatore $- 1$ de $- 1 (5) - 1 (- \ln (x^{6}))$ .

$f'' (x) = \frac{- 1 (5 - \ln (x^{6}))}{x^{4}}$

Etapa 2.12.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - \frac{5 - \ln (x^{6})}{x^{4}}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$\frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}} = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Etapa 4.1.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Etapa 4.1.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 4.1.3

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{2} \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 4.1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.1

Combine $x^{2}$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{x^{2}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 4.1.4.2

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.2.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{\frac{x \cdot x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 4.1.4.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{\frac{x \cdot x}{x^{1}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 4.1.4.2.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 4.1.4.2.2.3

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 4.1.4.2.2.4

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{x}{1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 4.1.4.2.2.5

Divida $x$ por $1$ .

$\frac{x - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 4.1.4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{x - \ln (x) (2 x)}{x^{4}}$

Etapa 4.1.4.4

Simplifique com fatoração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.4.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{x - 2 \ln (x) x}{x^{4}}$

Etapa 4.1.4.4.2

Fatore $x$ de $x - 2 \ln (x) x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.4.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x^{1} - 2 \ln (x) x}{x^{4}}$

Etapa 4.1.4.4.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot 1 - 2 \ln (x) x}{x^{4}}$

Etapa 4.1.4.4.2.3

Fatore $x$ de $- 2 \ln (x) x$ .

$\frac{x \cdot 1 + x (- 2 \ln (x))}{x^{4}}$

Etapa 4.1.4.4.2.4

Fatore $x$ de $x \cdot 1 + x (- 2 \ln (x))$ .

$\frac{x (1 - 2 \ln (x))}{x^{4}}$

Etapa 4.1.5

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.5.1

Fatore $x$ de $x^{4}$ .

$\frac{x (1 - 2 \ln (x))}{x \cdot x^{3}}$

Etapa 4.1.5.2

Cancele o fator comum.

$\frac{x (1 - 2 \ln (x))}{x \cdot x^{3}}$

Etapa 4.1.5.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1 - 2 \ln (x)}{x^{3}}$

Etapa 4.1.6

Simplifique $- 2 \ln (x)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$f' (x) = \frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$ .

$\frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}} = 0$

Etapa 5.2

Defina o numerador como igual a zero.

$1 - \ln (x^{2}) = 0$

Etapa 5.3

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- \ln (x^{2}) = - 1$

Etapa 5.3.2

Divida cada termo em $- \ln (x^{2}) = - 1$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Divida cada termo em $- \ln (x^{2}) = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- \ln (x^{2})}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 5.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{\ln (x^{2})}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 5.3.2.2.2

Divida $\ln (x^{2})$ por $1$ .

$\ln (x^{2}) = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 5.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.3.1

Divida $- 1$ por $- 1$ .

$\ln (x^{2}) = 1$

Etapa 5.3.3

Para resolver $x$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (x^{2})} = e^{1}$

Etapa 5.3.4

Reescreva $\ln (x^{2}) = 1$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{1} = x^{2}$

Etapa 5.3.5

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.5.1

Reescreva a equação como $x^{2} = e^{1}$ .

$x^{2} = e$

Etapa 5.3.5.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{e^{1}}$

Etapa 5.3.5.3

Simplifique.

$x = \pm \sqrt{e}$

Etapa 5.3.5.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.5.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \sqrt{e}$

Etapa 5.3.5.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \sqrt{e}$

Etapa 5.3.5.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \sqrt{e}, - \sqrt{e}$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Defina o denominador em $\frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{3} = 0$

Etapa 6.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \sqrt[3]{0}$

Etapa 6.2.2

Simplifique $\sqrt[3]{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Etapa 6.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$x = 0$

Etapa 6.3

Defina o argumento em $\ln (x^{2})$ como menor do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{2} \leq 0$

Etapa 6.4

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da desigualdade para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{0}$

Etapa 6.4.2

Simplifique a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1.1

Elimine os termos abaixo do radical.

$| x | \leq \sqrt{0}$

Etapa 6.4.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.2.1

Simplifique $\sqrt{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.2.1.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$| x | \leq \sqrt{0^{2}}$

Etapa 6.4.2.2.1.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$| x | \leq | 0 |$

Etapa 6.4.2.2.1.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $0$ é $0$ .

$| x | \leq 0$

Etapa 6.4.3

Escreva $| x | \leq 0$ em partes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.3.1

Para encontrar o intervalo da primeira parte, identifique onde o interior do valor absoluto é não negativo.

$x \geq 0$

Etapa 6.4.3.2

Na parte em que $x$ é não negativo, remova o valor absoluto.

$x \leq 0$

Etapa 6.4.3.3

Para encontrar o intervalo da segunda parte, identifique onde o interior do valor absoluto é negativo.

$x < 0$

Etapa 6.4.3.4

Na parte em que $x$ é negativo, remova o valor absoluto e multiplique por $- 1$ .

$- x \leq 0$

Etapa 6.4.3.5

Escreva em partes.

${\begin{cases} x \leq 0 & x \geq 0 \\ - x \leq 0 & x < 0 \end{cases}$

Etapa 6.4.4

Encontre a intersecção de $x \leq 0$ e $x \geq 0$ .

$x = 0$

Etapa 6.4.5

Resolva $- x \leq 0$ quando $x < 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.5.1

Divida cada termo em $- x \leq 0$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.5.1.1

Divida cada termo em $- x \leq 0$ por $- 1$ . Ao multiplicar ou dividir os dois lados de uma desigualdade por um valor negativo, inverta a direção do sinal de desigualdade.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{0}{- 1}$

Etapa 6.4.5.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.5.1.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} \geq \frac{0}{- 1}$

Etapa 6.4.5.1.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x \geq \frac{0}{- 1}$

Etapa 6.4.5.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.5.1.3.1

Divida $0$ por $- 1$ .

$x \geq 0$

Etapa 6.4.5.2

Encontre a intersecção de $x \geq 0$ e $x < 0$ .

Nenhuma solução

Etapa 6.4.6

Encontre a união das soluções.

$x = 0$

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = \sqrt{e}$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = \sqrt{e}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- \frac{5 - \ln ({(\sqrt{e})}^{6})}{{(\sqrt{e})}^{4}}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Reescreva ${\sqrt{e}}^{6}$ como $e^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{e}$ como $e^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{5 - \ln ({(e^{\frac{1}{2}})}^{6})}{{\sqrt{e}}^{4}}$

Etapa 9.1.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{5 - \ln (e^{\frac{1}{2} \cdot 6})}{{\sqrt{e}}^{4}}$

Etapa 9.1.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $6$ .

$- \frac{5 - \ln (e^{\frac{6}{2}})}{{\sqrt{e}}^{4}}$

Etapa 9.1.1.4

Cancele o fator comum de $6$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1.4.1

Fatore $2$ de $6$ .

$- \frac{5 - \ln (e^{\frac{2 \cdot 3}{2}})}{{\sqrt{e}}^{4}}$

Etapa 9.1.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$- \frac{5 - \ln (e^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}})}{{\sqrt{e}}^{4}}$

Etapa 9.1.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{5 - \ln (e^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}})}{{\sqrt{e}}^{4}}$

Etapa 9.1.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{5 - \ln (e^{\frac{3}{1}})}{{\sqrt{e}}^{4}}$

Etapa 9.1.1.4.2.4

Divida $3$ por $1$ .

$- \frac{5 - \ln (e^{3})}{{\sqrt{e}}^{4}}$

Etapa 9.1.2

Use as regras logarítmicas para mover $3$ para fora do expoente.

$- \frac{5 - (3 \ln (e))}{{\sqrt{e}}^{4}}$

Etapa 9.1.3

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$- \frac{5 - (3 \cdot 1)}{{\sqrt{e}}^{4}}$

Etapa 9.1.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$- \frac{5 - 1 \cdot 3}{{\sqrt{e}}^{4}}$

Etapa 9.1.5

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$- \frac{5 - 3}{{\sqrt{e}}^{4}}$

Etapa 9.1.6

Subtraia $3$ de $5$ .

$- \frac{2}{{\sqrt{e}}^{4}}$

Etapa 9.2

Reescreva ${\sqrt{e}}^{4}$ como $e^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{e}$ como $e^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{2}{{(e^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Etapa 9.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2}{e^{\frac{1}{2} \cdot 4}}$

Etapa 9.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $4$ .

$- \frac{2}{e^{\frac{4}{2}}}$

Etapa 9.2.4

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.4.1

Fatore $2$ de $4$ .

$- \frac{2}{e^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}$

Etapa 9.2.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$- \frac{2}{e^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}$

Etapa 9.2.4.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{2}{e^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}$

Etapa 9.2.4.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{2}{e^{\frac{2}{1}}}$

Etapa 9.2.4.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$- \frac{2}{e^{2}}$

Etapa 10

$x = \sqrt{e}$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \sqrt{e}$ é um máximo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = \sqrt{e}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $\sqrt{e}$ na expressão.

$f (\sqrt{e}) = \frac{\ln (\sqrt{e})}{{(\sqrt{e})}^{2}}$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Reescreva ${\sqrt{e}}^{2}$ como $e$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{e}$ como $e^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{e}) = \frac{\ln (\sqrt{e})}{{(e^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 11.2.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{e}) = \frac{\ln (\sqrt{e})}{e^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 11.2.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\sqrt{e}) = \frac{\ln (\sqrt{e})}{e^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 11.2.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.4.1

Cancele o fator comum.

$f (\sqrt{e}) = \frac{\ln (\sqrt{e})}{e^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 11.2.1.4.2

Reescreva a expressão.

$f (\sqrt{e}) = \frac{\ln (\sqrt{e})}{e}$

Etapa 11.2.1.5

Simplifique.

$f (\sqrt{e}) = \frac{\ln (\sqrt{e})}{e}$

Etapa 11.2.2

A resposta final é $\frac{\ln (\sqrt{e})}{e}$ .

$y = \frac{\ln (\sqrt{e})}{e}$

Etapa 12

Esses são os extremos locais para $f (x) = \frac{\ln (x)}{x^{2}}$ .

$(\sqrt{e}, \frac{\ln (\sqrt{e})}{e})$ é um máximo local

Etapa 13