Cálculo Exemplos

$\frac{x^{3}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Etapa 1

Escreva $\frac{x^{3}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ como uma função.

$f (x) = \frac{x^{3}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{x^{3}}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Etapa 4

Deixe $x = \sin (t)$ , em que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Depois, $d x = \cos (t) d t$ . Como $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\cos (t)$ é positivo.

$\int \frac{\sin^{3} (t)}{\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Etapa 5

Simplifique os termos.

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Etapa 5.1

Simplifique $\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ .

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Etapa 5.1.1

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\int \frac{\sin^{3} (t)}{\sqrt{\cos^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Etapa 5.1.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\int \frac{\sin^{3} (t)}{\cos (t)} \cos (t) d t$

Etapa 5.2

Cancele o fator comum de $\cos (t)$ .

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Etapa 5.2.1

Cancele o fator comum.

$\int \frac{\sin^{3} (t)}{\cos (t)} \cos (t) d t$

Etapa 5.2.2

Reescreva a expressão.

$\int \sin^{3} (t) d t$

Etapa 6

Fatore $\sin^{2} (t)$ .

$\int \sin^{2} (t) \sin (t) d t$

Etapa 7

Usando a fórmula de Pitágoras, reescreva $\sin^{2} (t)$ como $1 - \cos^{2} (t)$ .

$\int (1 - \cos^{2} (t)) \sin (t) d t$

Etapa 8

Deixe $u = \cos (t)$ . Depois, $d u = - \sin (t) d t$ , então, $- \frac{1}{\sin (t)} d u = d t$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 8.1

Deixe $u = \cos (t)$ . Encontre $\frac{d u}{d t}$ .

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Etapa 8.1.1

Diferencie $\cos (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\cos (t)]$

Etapa 8.1.2

A derivada de $\cos (t)$ em relação a $t$ é $- \sin (t)$ .

$- \sin (t)$

Etapa 8.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int - 1 + u^{2} d u$

Etapa 9

Divida a integral única em várias integrais.

$\int - 1 d u + \int u^{2} d u$

Etapa 10

Aplique a regra da constante.

$- u + C + \int u^{2} d u$

Etapa 11

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{2}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C$

Etapa 12

Simplifique.

$- u + \frac{1}{3} u^{3} + C$

Etapa 13

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 13.1

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\cos (t)$ .

$- \cos (t) + \frac{1}{3} \cos^{3} (t) + C$

Etapa 13.2

Substitua todas as ocorrências de $t$ por $\arcsin (x)$ .

$- \cos (\arcsin (x)) + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (x)) + C$

Etapa 14

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \frac{x^{3}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$F (x) =$ $- \cos (\arcsin (x)) + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (x)) + C$