Cálculo Exemplos

$\int \frac{\sec (x) + \csc (x) + \cot (x)}{\tan^{2} (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)} d x$

Etapa 1

Não foi possível concluir esta derivada usando a regra do quociente. O Mathway usará outro método.

Etapa 2

$\int \frac{\sec (x) + \csc (x) + \cot (x)}{\tan^{2} (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)} d x$ é uma primitiva de $\frac{\sec (x) + \csc (x) + \cot (x)}{\tan^{2} (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}$ . Portanto, por definição, $\frac{d}{d x} [\int \frac{\sec (x) + \csc (x) + \cot (x)}{\tan^{2} (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)} d x]$ é $\frac{\sec (x) + \csc (x) + \cot (x)}{\tan^{2} (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}$ .

$\frac{\sec (x) + \csc (x) + \cot (x)}{\tan^{2} (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\frac{\sec (x) + \csc (x) + \cot (x)}{\tan^{2} (x) + 1}$

Etapa 3.2

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\frac{\sec (x) + \csc (x) + \cot (x)}{\sec^{2} (x)}$

Etapa 3.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.3.1

Reescreva $\sec (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \csc (x) + \cot (x)}{\sec^{2} (x)}$

Etapa 3.3.2

Reescreva $\csc (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\sin (x)} + \cot (x)}{\sec^{2} (x)}$

Etapa 3.3.3

Reescreva $\cot (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\sec^{2} (x)}$

Etapa 3.4

Simplifique o denominador.

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Etapa 3.4.1

Reescreva $\sec (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}}$

Etapa 3.4.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}}$

Etapa 3.4.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{1}{\cos^{2} (x)}}$

Etapa 3.5

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$(\frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) \cos^{2} (x)$

Etapa 3.6

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{\cos (x)} \cos^{2} (x) + \frac{1}{\sin (x)} \cos^{2} (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos^{2} (x)$

Etapa 3.7

Simplifique.

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Etapa 3.7.1

Cancele o fator comum de $\cos (x)$ .

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Etapa 3.7.1.1

Fatore $\cos (x)$ de $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{1}{\cos (x)} (\cos (x) \cos (x)) + \frac{1}{\sin (x)} \cos^{2} (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos^{2} (x)$

Etapa 3.7.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{\cos (x)} (\cos (x) \cos (x)) + \frac{1}{\sin (x)} \cos^{2} (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos^{2} (x)$

Etapa 3.7.1.3

Reescreva a expressão.

$\cos (x) + \frac{1}{\sin (x)} \cos^{2} (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos^{2} (x)$

Etapa 3.7.2

Combine $\frac{1}{\sin (x)}$ e $\cos^{2} (x)$ .

$\cos (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos^{2} (x)$

Etapa 3.7.3

Multiplique $\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos^{2} (x)$ .

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Etapa 3.7.3.1

Combine $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ e $\cos^{2} (x)$ .

$\cos (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x) \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Etapa 3.7.3.2

Multiplique $\cos (x)$ por $\cos^{2} (x)$ somando os expoentes.

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Etapa 3.7.3.2.1

Multiplique $\cos (x)$ por $\cos^{2} (x)$ .

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Etapa 3.7.3.2.1.1

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\cos (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos^{1} (x) \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Etapa 3.7.3.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\cos (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{{\cos (x)}^{1 + 2}}{\sin (x)}$

Etapa 3.7.3.2.2

Some $1$ e $2$ .

$\cos (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos^{3} (x)}{\sin (x)}$

Etapa 3.8

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.8.1

Fatore $\cos (x)$ de $\cos^{2} (x)$ .

$\cos (x) + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos^{3} (x)}{\sin (x)}$

Etapa 3.8.2

Separe as frações.

$\cos (x) + \frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos^{3} (x)}{\sin (x)}$

Etapa 3.8.3

Converta de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ em $\cot (x)$ .

$\cos (x) + \frac{\cos (x)}{1} \cot (x) + \frac{\cos^{3} (x)}{\sin (x)}$

Etapa 3.8.4

Divida $\cos (x)$ por $1$ .

$\cos (x) + \cos (x) \cot (x) + \frac{\cos^{3} (x)}{\sin (x)}$

Etapa 3.8.5

Fatore $\cos (x)$ de $\cos^{3} (x)$ .

$\cos (x) + \cos (x) \cot (x) + \frac{\cos (x) \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Etapa 3.8.6

Separe as frações.

$\cos (x) + \cos (x) \cot (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Etapa 3.8.7

Converta de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ em $\cot (x)$ .

$\cos (x) + \cos (x) \cot (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{1} \cot (x)$

Etapa 3.8.8

Divida $\cos^{2} (x)$ por $1$ .

$\cos (x) + \cos (x) \cot (x) + \cos^{2} (x) \cot (x)$