Cálculo Exemplos

$x^{2} y = 4$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (x^{2} y) = \frac{d}{d x} (4)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x^{2} y' + y (2 x)$

Etapa 2.4

Reordene.

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Etapa 2.4.1

Mova $2$ para a esquerda de $y$ .

$x^{2} y' + 2 \cdot y x$

Etapa 2.4.2

Reordene os termos.

$x^{2} y' + 2 x y$

Etapa 3

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$x^{2} y' + 2 x y = 0$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Subtraia $2 x y$ dos dois lados da equação.

$x^{2} y' = - 2 x y$

Etapa 5.2

Divida cada termo em $x^{2} y' = - 2 x y$ por $x^{2}$ e simplifique.

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Etapa 5.2.1

Divida cada termo em $x^{2} y' = - 2 x y$ por $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} y'}{x^{2}} = \frac{- 2 x y}{x^{2}}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.2.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{2} y'}{x^{2}} = \frac{- 2 x y}{x^{2}}$

Etapa 5.2.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 2 x y}{x^{2}}$

Etapa 5.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.3.1

Cancele o fator comum de $x$ e $x^{2}$ .

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Etapa 5.2.3.1.1

Fatore $x$ de $- 2 x y$ .

$y' = \frac{x (- 2 y)}{x^{2}}$

Etapa 5.2.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.2.3.1.2.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$y' = \frac{x (- 2 y)}{x \cdot x}$

Etapa 5.2.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{x (- 2 y)}{x \cdot x}$

Etapa 5.2.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{- 2 y}{x}$

Etapa 5.2.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{2 y}{x}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 y}{x}$