Cálculo Exemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{49 x^{2} - 4} + 3}{x + 3}$

Etapa 1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1

Reescreva $49 x^{2}$ como ${(7 x)}^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{{(7 x)}^{2} - 4} + 3}{x + 3}$

Etapa 1.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{{(7 x)}^{2} - 2^{2}} + 3}{x + 3}$

Etapa 1.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 7 x$ e $b = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{(7 x + 2) (7 x - 2)} + 3}{x + 3}$

Etapa 2

Divida o numerador e o denominador pela potência mais alta de $x$ no denominador, que é $\sqrt{x^{2}} = x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{(7 x + 2) (7 x - 2)}{x^{2}}} + \frac{3}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{3}{x}}$

Etapa 3

Avalie o limite.

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Etapa 3.1

Cancele o fator comum de $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{(7 x + 2) (7 x - 2)}{x^{2}}} + \frac{3}{x}}{1 + \frac{3}{x}}$

Etapa 3.2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{(7 x + 2) (7 x - 2)}{x^{2}}} + \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Etapa 3.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{(7 x + 2) (7 x - 2)}{x^{2}}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Etapa 3.4

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(7 x + 2) (7 x - 2)}{x^{2}}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Etapa 4

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 4.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 4.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} (7 x + 2) (7 x - 2)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Etapa 4.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 4.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 7 x (7 x - 2) + 2 (7 x - 2)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Etapa 4.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 7 x \cdot 7 x + 7 x \cdot - 2 + 2 (7 x - 2)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Etapa 4.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 7 x \cdot 7 x + 7 x \cdot - 2 + 2 \cdot 7 x + 2 \cdot - 2}{lim_{x \to \infty} x^{2}}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Etapa 4.1.2.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.1.2.4.1

Mova $x$ .

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 7 \cdot 7 x \cdot x + 7 x \cdot - 2 + 2 \cdot 7 x + 2 \cdot - 2}{lim_{x \to \infty} x^{2}}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Etapa 4.1.2.4.2

Mova $x$ .

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 7 \cdot 7 x \cdot x + 7 \cdot - 2 x + 2 \cdot 7 x + 2 \cdot - 2}{lim_{x \to \infty} x^{2}}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Etapa 4.1.2.4.3

Multiplique $7$ por $7$ .

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 49 x \cdot x + 7 \cdot - 2 x + 2 \cdot 7 x + 2 \cdot - 2}{lim_{x \to \infty} x^{2}}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Etapa 4.1.2.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 49 x^{1} x + 7 \cdot - 2 x + 2 \cdot 7 x + 2 \cdot - 2}{lim_{x \to \infty} x^{2}}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Etapa 4.1.2.6

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 49 x^{1} x^{1} + 7 \cdot - 2 x + 2 \cdot 7 x + 2 \cdot - 2}{lim_{x \to \infty} x^{2}}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Etapa 4.1.2.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 49 x^{1 + 1} + 7 \cdot - 2 x + 2 \cdot 7 x + 2 \cdot - 2}{lim_{x \to \infty} x^{2}}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Etapa 4.1.2.8

Simplifique somando os termos.

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Etapa 4.1.2.8.1

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 49 x^{2} + 7 \cdot - 2 x + 2 \cdot 7 x + 2 \cdot - 2}{lim_{x \to \infty} x^{2}}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Etapa 4.1.2.8.2

Multiplique.

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Etapa 4.1.2.8.2.1

Multiplique $7$ por $- 2$ .

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 49 x^{2} - 14 x + 2 \cdot 7 x + 2 \cdot - 2}{lim_{x \to \infty} x^{2}}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Etapa 4.1.2.8.2.2

Multiplique $2$ por $7$ .

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 49 x^{2} - 14 x + 14 x + 2 \cdot - 2}{lim_{x \to \infty} x^{2}}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Etapa 4.1.2.8.2.3

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 49 x^{2} - 14 x + 14 x - 4}{lim_{x \to \infty} x^{2}}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Etapa 4.1.2.8.3

Some $- 14 x$ e $14 x$ .

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 49 x^{2} + 0 - 4}{lim_{x \to \infty} x^{2}}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Etapa 4.1.2.8.4

Subtraia $4$ de $0$ .

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 49 x^{2} - 4}{lim_{x \to \infty} x^{2}}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Etapa 4.1.2.9

O limite no infinito de um polinômio cujo coeficiente de maior ordem é positivo é o infinito.

$\frac{\sqrt{\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{2}}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Etapa 4.1.3

O limite no infinito de um polinômio cujo coeficiente de maior ordem é positivo é o infinito.

$\frac{\sqrt{\frac{\infty}{\infty}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Etapa 4.1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$\frac{\sqrt{\frac{\infty}{\infty}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Etapa 4.2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{(7 x + 2) (7 x - 2)}{x^{2}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(7 x + 2) (7 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 4.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 4.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(7 x + 2) (7 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Etapa 4.3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = 7 x + 2$ e $g (x) = 7 x - 2$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(7 x + 2) \frac{d}{d x} [7 x - 2] + (7 x - 2) \frac{d}{d x} [7 x + 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Etapa 4.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $7 x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(7 x + 2) (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (7 x - 2) \frac{d}{d x} [7 x + 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Etapa 4.3.4

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 x$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(7 x + 2) (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (7 x - 2) \frac{d}{d x} [7 x + 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Etapa 4.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(7 x + 2) (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + (7 x - 2) \frac{d}{d x} [7 x + 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Etapa 4.3.6

Multiplique $7$ por $1$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(7 x + 2) (7 + \frac{d}{d x} [- 2]) + (7 x - 2) \frac{d}{d x} [7 x + 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Etapa 4.3.7

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(7 x + 2) (7 + 0) + (7 x - 2) \frac{d}{d x} [7 x + 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Etapa 4.3.8

Some $7$ e $0$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(7 x + 2) \cdot 7 + (7 x - 2) \frac{d}{d x} [7 x + 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Etapa 4.3.9

Mova $7$ para a esquerda de $7 x + 2$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{7 \cdot (7 x + 2) + (7 x - 2) \frac{d}{d x} [7 x + 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Etapa 4.3.10

De acordo com a regra da soma, a derivada de $7 x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{7 (7 x + 2) + (7 x - 2) (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [2])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Etapa 4.3.11

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 x$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{7 (7 x + 2) + (7 x - 2) (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Etapa 4.3.12

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{7 (7 x + 2) + (7 x - 2) (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Etapa 4.3.13

Multiplique $7$ por $1$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{7 (7 x + 2) + (7 x - 2) (7 + \frac{d}{d x} [2])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Etapa 4.3.14

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{7 (7 x + 2) + (7 x - 2) (7 + 0)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Etapa 4.3.15

Some $7$ e $0$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{7 (7 x + 2) + (7 x - 2) \cdot 7}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Etapa 4.3.16

Mova $7$ para a esquerda de $7 x - 2$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{7 (7 x + 2) + 7 \cdot (7 x - 2)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Etapa 4.3.17

Simplifique.

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Etapa 4.3.17.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{7 \cdot 7 x + 7 \cdot 2 + 7 (7 x - 2)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Etapa 4.3.17.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{7 \cdot 7 x + 7 \cdot 2 + 7 \cdot 7 x + 7 \cdot - 2}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Etapa 4.3.17.3

Combine os termos.

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Etapa 4.3.17.3.1

Multiplique $7$ por $7$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{49 x + 7 \cdot 2 + 7 \cdot 7 x + 7 \cdot - 2}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Etapa 4.3.17.3.2

Multiplique $7$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{49 x + 14 + 7 \cdot 7 x + 7 \cdot - 2}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Etapa 4.3.17.3.3

Multiplique $7$ por $7$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{49 x + 14 + 49 x + 7 \cdot - 2}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Etapa 4.3.17.3.4

Multiplique $7$ por $- 2$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{49 x + 14 + 49 x - 14}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Etapa 4.3.17.3.5

Some $49 x$ e $49 x$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{98 x + 14 - 14}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Etapa 4.3.17.3.6

Subtraia $14$ de $14$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{98 x + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Etapa 4.3.17.3.7

Some $98 x$ e $0$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{98 x}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Etapa 4.3.18

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{98 x}{2 x}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Etapa 4.4

Reduza.

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Etapa 4.4.1

Cancele o fator comum de $98$ e $2$ .

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Etapa 4.4.1.1

Fatore $2$ de $98 x$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 \cdot 49 x}{2 x}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Etapa 4.4.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.4.1.2.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 \cdot 49 x}{2 (x)}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Etapa 4.4.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 \cdot 49 x}{2 x}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Etapa 4.4.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{49 x}{x}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Etapa 4.4.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 4.4.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{49 x}{x}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Etapa 4.4.2.2

Divida $49$ por $1$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 49} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Etapa 5

Avalie o limite.

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Etapa 5.1

Avalie o limite de $49$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\sqrt{49} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Etapa 5.2

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{\sqrt{49} + 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Etapa 6

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\sqrt{49} + 3 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Etapa 7

Avalie o limite.

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Etapa 7.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\sqrt{49} + 3 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}$

Etapa 7.2

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\sqrt{49} + 3 \cdot 0}{1 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}$

Etapa 7.3

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{\sqrt{49} + 3 \cdot 0}{1 + 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Etapa 8

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\sqrt{49} + 3 \cdot 0}{1 + 3 \cdot 0}$

Etapa 9

Simplifique a resposta.

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Etapa 9.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 9.1.1

Reescreva $49$ como $7^{2}$ .

$\frac{\sqrt{7^{2}} + 3 \cdot 0}{1 + 3 \cdot 0}$

Etapa 9.1.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{7 + 3 \cdot 0}{1 + 3 \cdot 0}$

Etapa 9.1.3

Multiplique $3$ por $0$ .

$\frac{7 + 0}{1 + 3 \cdot 0}$

Etapa 9.1.4

Some $7$ e $0$ .

$\frac{7}{1 + 3 \cdot 0}$

Etapa 9.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 9.2.1

Multiplique $3$ por $0$ .

$\frac{7}{1 + 0}$

Etapa 9.2.2

Some $1$ e $0$ .

$\frac{7}{1}$

Etapa 9.3

Divida $7$ por $1$ .

$7$