Cálculo Exemplos

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{x \cos (π x)}{e^{x} - \sqrt{e}}$

Etapa 1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\frac{1}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} x \cos (π x)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} e^{x} - \sqrt{e}}$

Etapa 2

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\frac{1}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} x \cdot lim_{x \to \frac{1}{2}} \cos (π x)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} e^{x} - \sqrt{e}}$

Etapa 3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} x \cdot \cos (lim_{x \to \frac{1}{2}} π x)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} e^{x} - \sqrt{e}}$

Etapa 4

Mova o termo $π$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} x \cdot \cos (π lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} e^{x} - \sqrt{e}}$

Etapa 5

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\frac{1}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} x \cdot \cos (π lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} e^{x} - lim_{x \to \frac{1}{2}} \sqrt{e}}$

Etapa 6

Mova o limite para o expoente.

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} x \cdot \cos (π lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}{e^{lim_{x \to \frac{1}{2}} x} - lim_{x \to \frac{1}{2}} \sqrt{e}}$

Etapa 7

Avalie o limite de $\sqrt{e}$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\frac{1}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} x \cdot \cos (π lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}{e^{lim_{x \to \frac{1}{2}} x} - \sqrt{e}}$

Etapa 8

Avalie os limites substituindo $\frac{1}{2}$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 8.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{1}{2}$ por $x$ .

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \cos (π lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}{e^{lim_{x \to \frac{1}{2}} x} - \sqrt{e}}$

Etapa 8.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{1}{2}$ por $x$ .

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \cos (π \frac{1}{2})}{e^{lim_{x \to \frac{1}{2}} x} - \sqrt{e}}$

Etapa 8.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{1}{2}$ por $x$ .

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \cos (π \frac{1}{2})}{e^{\frac{1}{2}} - \sqrt{e}}$

Etapa 9

Simplifique a resposta.

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Etapa 9.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $\cos (π \frac{1}{2})$ .

$\frac{\frac{\cos (π \frac{1}{2})}{2}}{e^{\frac{1}{2}} - \sqrt{e}}$

Etapa 9.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 9.2.1

Combine $π$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\frac{\cos (\frac{π}{2})}{2}}{e^{\frac{1}{2}} - \sqrt{e}}$

Etapa 9.2.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$\frac{\frac{0}{2}}{e^{\frac{1}{2}} - \sqrt{e}}$

Etapa 9.3

Divida $0$ por $2$ .

$\frac{0}{e^{\frac{1}{2}} - \sqrt{e}}$

Etapa 9.4

Divida $0$ por $e^{\frac{1}{2}} - \sqrt{e}$ .

$0$