Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{2} \frac{x}{1 - x} d x$

Etapa 1

Reordene $1$ e $- x$ .

$\int_{0}^{2} \frac{x}{- x + 1} d x$

Etapa 2

Divida $x$ por $- x + 1$ .

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Etapa 2.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$1$

$x$

$0$

Etapa 2.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $- x$ .

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$

Etapa 2.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
				+	$x$	-	$1$

Etapa 2.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x - 1$ .

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
				-	$x$	+	$1$

Etapa 2.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
				-	$x$	+	$1$
						+	$1$

Etapa 2.6

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$\int_{0}^{2} - 1 + \frac{1}{- x + 1} d x$

Etapa 3

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{0}^{2} - 1 d x + \int_{0}^{2} \frac{1}{- x + 1} d x$

Etapa 4

Aplique a regra da constante.

$- x]_{0}^{2} + \int_{0}^{2} \frac{1}{- x + 1} d x$

Etapa 5

Deixe $u = - x + 1$ . Depois, $d u = - d x$ , então, $- d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 5.1

Deixe $u = - x + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 5.1.1

Reescreva.

$\frac{- 1}{1}$

Etapa 5.1.2

Divida $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 5.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = - x + 1$ .

$u_{lower} = - 0 + 1$

Etapa 5.3

Simplifique.

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Etapa 5.3.1

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Etapa 5.3.2

Some $0$ e $1$ .

$u_{lower} = 1$

Etapa 5.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = - x + 1$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 2 + 1$

Etapa 5.5

Simplifique.

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Etapa 5.5.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$u_{upper} = - 2 + 1$

Etapa 5.5.2

Some $- 2$ e $1$ .

$u_{upper} = - 1$

Etapa 5.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = - 1$

Etapa 5.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$- x]_{0}^{2} + \int_{1}^{- 1} \frac{- 1}{u} d u$

Etapa 6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- x]_{0}^{2} + \int_{1}^{- 1} - \frac{1}{u} d u$

Etapa 7

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- x]_{0}^{2} - \int_{1}^{- 1} \frac{1}{u} d u$

Etapa 8

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$- x]_{0}^{2} - (\ln (| u |)]_{1}^{- 1})$

Etapa 9

Substitua e simplifique.

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Etapa 9.1

Avalie $- x$ em $2$ e em $0$ .

$(- 1 \cdot 2) + 0 - (\ln (| u |)]_{1}^{- 1})$

Etapa 9.2

Avalie $\ln (| u |)$ em $- 1$ e em $1$ .

$(- 1 \cdot 2) + 0 - ((\ln (| - 1 |)) - \ln (| 1 |))$

Etapa 9.3

Simplifique.

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Etapa 9.3.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 2 + 0 - ((\ln (| - 1 |)) - \ln (| 1 |))$

Etapa 9.3.2

Some $- 2$ e $0$ .

$- 2 - (\ln (| - 1 |) - \ln (| 1 |))$

Etapa 10

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- 2 - \ln (\frac{| - 1 |}{| 1 |})$

Etapa 11

Simplifique.

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Etapa 11.1

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $- 1$ e $0$ é $1$ .

$- 2 - \ln (\frac{1}{| 1 |})$

Etapa 11.2

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$- 2 - \ln (\frac{1}{1})$

Etapa 11.3

Divida $1$ por $1$ .

$- 2 - \ln (1)$

Etapa 11.4

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$- 2 - 0$

Etapa 11.5

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$- 2 + 0$

Etapa 11.6

Some $- 2$ e $0$ .

$- 2$

Etapa 12