Cálculo Exemplos

$f (x) = - \frac{2}{5} x^{6} + 5 x^{4}$

Etapa 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- \frac{2}{5} x^{6} + 5 x^{4}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{5} x^{6}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{2}{5} x^{6}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Etapa 1.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{5} x^{6}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

Como $- \frac{2}{5}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{2}{5} x^{6}$ em relação a $x$ é $- \frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$- \frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 6$ .

$- \frac{2}{5} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Etapa 1.1.1.2.3

Multiplique $6$ por $- 1$ .

$- 6 (\frac{2}{5}) x^{5} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Etapa 1.1.1.2.4

Combine $- 6$ e $\frac{2}{5}$ .

$\frac{- 6 \cdot 2}{5} x^{5} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Etapa 1.1.1.2.5

Multiplique $- 6$ por $2$ .

$\frac{- 12}{5} x^{5} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Etapa 1.1.1.2.6

Combine $\frac{- 12}{5}$ e $x^{5}$ .

$\frac{- 12 x^{5}}{5} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Etapa 1.1.1.2.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{12 x^{5}}{5} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Etapa 1.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{4}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{12 x^{5}}{5} + 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 1.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$- \frac{12 x^{5}}{5} + 5 (4 x^{3})$

Etapa 1.1.1.3.3

Multiplique $4$ por $5$ .

$f' (x) = - \frac{12 x^{5}}{5} + 20 x^{3}$

Etapa 1.1.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- \frac{12 x^{5}}{5} + 20 x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- \frac{12 x^{5}}{5}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{12 x^{5}}{5}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Etapa 1.1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{12 x^{5}}{5}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.2.1

Como $- \frac{12}{5}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{12 x^{5}}{5}$ em relação a $x$ é $- \frac{12}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- \frac{12}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Etapa 1.1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$- \frac{12}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Etapa 1.1.2.2.3

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$- 5 (\frac{12}{5}) x^{4} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Etapa 1.1.2.2.4

Combine $- 5$ e $\frac{12}{5}$ .

$\frac{- 5 \cdot 12}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Etapa 1.1.2.2.5

Multiplique $- 5$ por $12$ .

$\frac{- 60}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Etapa 1.1.2.2.6

Combine $\frac{- 60}{5}$ e $x^{4}$ .

$\frac{- 60 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Etapa 1.1.2.2.7

Cancele o fator comum de $- 60$ e $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.2.7.1

Fatore $5$ de $- 60 x^{4}$ .

$\frac{5 (- 12 x^{4})}{5} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Etapa 1.1.2.2.7.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.2.7.2.1

Fatore $5$ de $5$ .

$\frac{5 (- 12 x^{4})}{5 (1)} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Etapa 1.1.2.2.7.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{5 (- 12 x^{4})}{5 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Etapa 1.1.2.2.7.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 12 x^{4}}{1} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Etapa 1.1.2.2.7.2.4

Divida $- 12 x^{4}$ por $1$ .

$- 12 x^{4} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Etapa 1.1.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1

Como $20$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $20 x^{3}$ em relação a $x$ é $20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 12 x^{4} + 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 1.1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$- 12 x^{4} + 20 (3 x^{2})$

Etapa 1.1.2.3.3

Multiplique $3$ por $20$ .

$f'' (x) = - 12 x^{4} + 60 x^{2}$

Etapa 1.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 12 x^{4} + 60 x^{2}$ .

$- 12 x^{4} + 60 x^{2}$

Etapa 1.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 12 x^{4} + 60 x^{2} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$- 12 x^{4} + 60 x^{2} = 0$

Etapa 1.2.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 12 {(x^{2})}^{2} + 60 x^{2} = 0$

Etapa 1.2.2.2

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$- 12 u^{2} + 60 u = 0$

Etapa 1.2.2.3

Fatore $12 u$ de $- 12 u^{2} + 60 u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.3.1

Fatore $12 u$ de $- 12 u^{2}$ .

$12 u (- u) + 60 u = 0$

Etapa 1.2.2.3.2

Fatore $12 u$ de $60 u$ .

$12 u (- u) + 12 u (5) = 0$

Etapa 1.2.2.3.3

Fatore $12 u$ de $12 u (- u) + 12 u (5)$ .

$12 u (- u + 5) = 0$

Etapa 1.2.2.4

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$12 x^{2} (- x^{2} + 5) = 0$

Etapa 1.2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

$- x^{2} + 5 = 0$

Etapa 1.2.4

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

Etapa 1.2.4.2

Resolva $x^{2} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 1.2.4.2.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 1.2.4.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 1.2.4.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 1.2.5

Defina $- x^{2} + 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Defina $- x^{2} + 5$ como igual a $0$ .

$- x^{2} + 5 = 0$

Etapa 1.2.5.2

Resolva $- x^{2} + 5 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.1

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$- x^{2} = - 5$

Etapa 1.2.5.2.2

Divida cada termo em $- x^{2} = - 5$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.2.1

Divida cada termo em $- x^{2} = - 5$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 5}{- 1}$

Etapa 1.2.5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.5.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 5}{- 1}$

Etapa 1.2.5.2.2.2.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 5}{- 1}$

Etapa 1.2.5.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.5.2.2.3.1

Divida $- 5$ por $- 1$ .

$x^{2} = 5$

Etapa 1.2.5.2.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{5}$

Etapa 1.2.5.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 1.2.5.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \sqrt{5}$

Etapa 1.2.5.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \sqrt{5}$

Etapa 1.2.5.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Etapa 1.2.6

A solução final são todos os valores que tornam $12 x^{2} (- x^{2} + 5) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Etapa 2

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 3

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(- \infty, - \sqrt{5}) \cup (- \sqrt{5}, 0) \cup (0, \sqrt{5}) \cup (\sqrt{5}, \infty)$

Etapa 4

Substitua qualquer número do intervalo $(- \infty, - \sqrt{5})$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $- 5$ na expressão.

$f'' (- 5) = - 12 {(- 5)}^{4} + 60 {(- 5)}^{2}$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.1

Eleve $- 5$ à potência de $4$ .

$f'' (- 5) = - 12 \cdot 625 + 60 {(- 5)}^{2}$

Etapa 4.2.1.2

Multiplique $- 12$ por $625$ .

$f'' (- 5) = - 7500 + 60 {(- 5)}^{2}$

Etapa 4.2.1.3

Eleve $- 5$ à potência de $2$ .

$f'' (- 5) = - 7500 + 60 \cdot 25$

Etapa 4.2.1.4

Multiplique $60$ por $25$ .

$f'' (- 5) = - 7500 + 1500$

Etapa 4.2.2

Some $- 7500$ e $1500$ .

$f'' (- 5) = - 6000$

Etapa 4.2.3

A resposta final é $- 6000$ .

$- 6000$

Etapa 4.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(- \infty, - \sqrt{5})$ porque $f'' (- 5)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(- \infty, - \sqrt{5})$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 5

Substitua qualquer número do intervalo $(- \sqrt{5}, 0)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$f'' (- 1) = - 12 {(- 1)}^{4} + 60 {(- 1)}^{2}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $4$ .

$f'' (- 1) = - 12 \cdot 1 + 60 {(- 1)}^{2}$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $- 12$ por $1$ .

$f'' (- 1) = - 12 + 60 {(- 1)}^{2}$

Etapa 5.2.1.3

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f'' (- 1) = - 12 + 60 \cdot 1$

Etapa 5.2.1.4

Multiplique $60$ por $1$ .

$f'' (- 1) = - 12 + 60$

Etapa 5.2.2

Some $- 12$ e $60$ .

$f'' (- 1) = 48$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $48$ .

$48$

Etapa 5.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(- \sqrt{5}, 0)$ porque $f'' (- 1)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(- \sqrt{5}, 0)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 6

Substitua qualquer número do intervalo $(0, \sqrt{5})$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f'' (1) = - 12 {(1)}^{4} + 60 {(1)}^{2}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f'' (1) = - 12 \cdot 1 + 60 {(1)}^{2}$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $- 12$ por $1$ .

$f'' (1) = - 12 + 60 {(1)}^{2}$

Etapa 6.2.1.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$f'' (1) = - 12 + 60 \cdot 1$

Etapa 6.2.1.4

Multiplique $60$ por $1$ .

$f'' (1) = - 12 + 60$

Etapa 6.2.2

Some $- 12$ e $60$ .

$f'' (1) = 48$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $48$ .

$48$

Etapa 6.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(0, \sqrt{5})$ porque $f'' (1)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(0, \sqrt{5})$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 7

Substitua qualquer número do intervalo $(\sqrt{5}, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $5$ na expressão.

$f'' (5) = - 12 {(5)}^{4} + 60 {(5)}^{2}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Eleve $5$ à potência de $4$ .

$f'' (5) = - 12 \cdot 625 + 60 {(5)}^{2}$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $- 12$ por $625$ .

$f'' (5) = - 7500 + 60 {(5)}^{2}$

Etapa 7.2.1.3

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$f'' (5) = - 7500 + 60 \cdot 25$

Etapa 7.2.1.4

Multiplique $60$ por $25$ .

$f'' (5) = - 7500 + 1500$

Etapa 7.2.2

Some $- 7500$ e $1500$ .

$f'' (5) = - 6000$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $- 6000$ .

$- 6000$

Etapa 7.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(\sqrt{5}, \infty)$ porque $f'' (5)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(\sqrt{5}, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 8

O gráfico tem concavidade para baixo quando a segunda derivada é negativa e concavidade para cima quando a segunda derivada é positiva.

Concavidade para baixo em $(- \infty, - \sqrt{5})$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Concavidade para cima em $(- \sqrt{5}, 0)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Concavidade para cima em $(0, \sqrt{5})$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Concavidade para baixo em $(\sqrt{5}, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 9