Cálculo Exemplos

$\frac{e^{x}}{1 + e^{x}}$

Etapa 1

Escreva $\frac{e^{x}}{1 + e^{x}}$ como uma função.

$f (x) = \frac{e^{x}}{1 + e^{x}}$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} d x$

Etapa 4

Deixe $u = 1 + e^{x}$ . Depois, $d u = e^{x} d x$ , então, $\frac{1}{e^{x}} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 4.1

Deixe $u = 1 + e^{x}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 4.1.1

Diferencie $1 + e^{x}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

Etapa 4.1.2

Diferencie.

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Etapa 4.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + e^{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 4.1.2.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 4.1.3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$0 + e^{x}$

Etapa 4.1.4

Some $0$ e $e^{x}$ .

$e^{x}$

Etapa 4.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u$

Etapa 5

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C$

Etapa 6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 + e^{x}$ .

$\ln (| 1 + e^{x} |) + C$

Etapa 7

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \frac{e^{x}}{1 + e^{x}}$ .

$F (x) =$ $\ln (| 1 + e^{x} |) + C$