Cálculo Exemplos

${(\frac{1}{x})}^{x}$

Etapa 1

Use as propriedades dos logaritmos para simplificar a diferenciação.

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Etapa 1.1

Reescreva ${(\frac{1}{x})}^{x}$ como $e^{\ln ({(\frac{1}{x})}^{x})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({(\frac{1}{x})}^{x})}]$

Etapa 1.2

Expanda $\ln ({(\frac{1}{x})}^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$\frac{d}{d x} [e^{x \ln (\frac{1}{x})}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x \ln (\frac{1}{x})$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $x \ln (\frac{1}{x})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x \ln (\frac{1}{x})]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x \ln (\frac{1}{x})]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x \ln (\frac{1}{x})$ .

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} \frac{d}{d x} [x \ln (\frac{1}{x})]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (\frac{1}{x})$ .

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} (x \frac{d}{d x} [\ln (\frac{1}{x})] + \ln (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \frac{1}{x}$ .

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Etapa 4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $\frac{1}{x}$ .

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} (x (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \ln (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.2

A derivada de $\ln (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} (x (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \ln (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\frac{1}{x}$ .

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} (x (\frac{1}{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \ln (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 5

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{x}$ .

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} (x (1 x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \ln (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 6

Multiplique $x$ por $1$ .

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} (x (x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \ln (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 7

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} (x^{1} x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \ln (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 8

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} (x^{1} x^{1} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \ln (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 9

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} (x^{1 + 1} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \ln (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 10

Simplifique a expressão.

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Etapa 10.1

Some $1$ e $1$ .

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} (x^{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \ln (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 10.2

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} (x^{2} \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \ln (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} (x^{2} (- x^{- 2}) + \ln (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 12

Multiplique $x^{2}$ por $x^{- 2}$ somando os expoentes.

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Etapa 12.1

Mova $x^{- 2}$ .

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} (x^{- 2} x^{2} \cdot - 1 + \ln (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 12.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} (x^{- 2 + 2} \cdot - 1 + \ln (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 12.3

Some $- 2$ e $2$ .

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} (x^{0} \cdot - 1 + \ln (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 13

Simplifique $x^{0} \cdot - 1$ .

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} (- 1 + \ln (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 14

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} (- 1 + \ln (\frac{1}{x}) \cdot 1)$

Etapa 15

Multiplique $\ln (\frac{1}{x})$ por $1$ .

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} (- 1 + \ln (\frac{1}{x}))$

Etapa 16

Simplifique.

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Etapa 16.1

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} \cdot - 1 + e^{x \ln (\frac{1}{x})} \ln (\frac{1}{x})$

Etapa 16.2

Combine os termos.

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Etapa 16.2.1

Mova $- 1$ para a esquerda de $e^{x \ln (\frac{1}{x})}$ .

$- 1 \cdot e^{x \ln (\frac{1}{x})} + e^{x \ln (\frac{1}{x})} \ln (\frac{1}{x})$

Etapa 16.2.2

Reescreva $- 1 e^{x \ln (\frac{1}{x})}$ como $- e^{x \ln (\frac{1}{x})}$ .

$- e^{x \ln (\frac{1}{x})} + e^{x \ln (\frac{1}{x})} \ln (\frac{1}{x})$

Etapa 16.3

Reordene os termos.

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} \ln (\frac{1}{x}) - e^{x \ln (\frac{1}{x})}$