Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{3}{{(5 - 7 x)}^{4}}$

Etapa 1

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 2

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{3}{{(5 - 7 x)}^{4}} d x$

Etapa 3

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$3 \int \frac{1}{{(5 - 7 x)}^{4}} d x$

Etapa 4

Deixe $u = 5 - 7 x$ . Depois, $d u = - 7 d x$ , então, $- \frac{1}{7} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 4.1

Deixe $u = 5 - 7 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 4.1.1

Diferencie $5 - 7 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 - 7 x]$

Etapa 4.1.2

Diferencie.

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Etapa 4.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 - 7 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Etapa 4.1.2.2

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Etapa 4.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

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Etapa 4.1.3.1

Como $- 7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 7 x$ em relação a $x$ é $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 7 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 - 7 \cdot 1$

Etapa 4.1.3.3

Multiplique $- 7$ por $1$ .

$0 - 7$

Etapa 4.1.4

Subtraia $7$ de $0$ .

$- 7$

Etapa 4.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$3 \int \frac{1}{u^{4}} \cdot \frac{1}{- 7} d u$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$3 \int \frac{1}{u^{4}} (- \frac{1}{7}) d u$

Etapa 5.2

Multiplique $\frac{1}{u^{4}}$ por $\frac{1}{7}$ .

$3 \int - \frac{1}{u^{4} \cdot 7} d u$

Etapa 5.3

Mova $7$ para a esquerda de $u^{4}$ .

$3 \int - \frac{1}{7 u^{4}} d u$

Etapa 6

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$3 (- \int \frac{1}{7 u^{4}} d u)$

Etapa 7

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$- 3 \int \frac{1}{7 u^{4}} d u$

Etapa 8

Como $\frac{1}{7}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{7}$ para fora da integral.

$- 3 (\frac{1}{7} \int \frac{1}{u^{4}} d u)$

Etapa 9

Simplifique a expressão.

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Etapa 9.1

Simplifique.

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Etapa 9.1.1

Combine $\frac{1}{7}$ e $- 3$ .

$\frac{- 3}{7} \int \frac{1}{u^{4}} d u$

Etapa 9.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{3}{7} \int \frac{1}{u^{4}} d u$

Etapa 9.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 9.2.1

Mova $u^{4}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$- \frac{3}{7} \int {(u^{4})}^{- 1} d u$

Etapa 9.2.2

Multiplique os expoentes em ${(u^{4})}^{- 1}$ .

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Etapa 9.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{3}{7} \int u^{4 \cdot - 1} d u$

Etapa 9.2.2.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$- \frac{3}{7} \int u^{- 4} d u$

Etapa 10

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- 4}$ com relação a $u$ é $- \frac{1}{3} u^{- 3}$ .

$- \frac{3}{7} (- \frac{1}{3} u^{- 3} + C)$

Etapa 11

Simplifique.

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Etapa 11.1

Reescreva $- \frac{3}{7} (- \frac{1}{3} u^{- 3} + C)$ como $- \frac{3}{7} (- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u^{3}}) + C$ .

$- \frac{3}{7} (- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u^{3}}) + C$

Etapa 11.2

Simplifique.

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Etapa 11.2.1

Multiplique $\frac{1}{u^{3}}$ por $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{3}{7} (- \frac{1}{u^{3} \cdot 3}) + C$

Etapa 11.2.2

Mova $3$ para a esquerda de $u^{3}$ .

$- \frac{3}{7} (- \frac{1}{3 \cdot u^{3}}) + C$

Etapa 11.2.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 (\frac{3}{7}) \frac{1}{3 u^{3}} + C$

Etapa 11.2.4

Multiplique $\frac{3}{7}$ por $1$ .

$\frac{3}{7} \cdot \frac{1}{3 u^{3}} + C$

Etapa 11.2.5

Multiplique $\frac{3}{7}$ por $\frac{1}{3 u^{3}}$ .

$\frac{3}{7 (3 u^{3})} + C$

Etapa 11.2.6

Multiplique $3$ por $7$ .

$\frac{3}{21 u^{3}} + C$

Etapa 11.2.7

Cancele o fator comum de $3$ e $21$ .

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Etapa 11.2.7.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{3 (1)}{21 u^{3}} + C$

Etapa 11.2.7.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.7.2.1

Fatore $3$ de $21 u^{3}$ .

$\frac{3 (1)}{3 (7 u^{3})} + C$

Etapa 11.2.7.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \cdot 1}{3 (7 u^{3})} + C$

Etapa 11.2.7.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{7 u^{3}} + C$

Etapa 12

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $5 - 7 x$ .

$\frac{1}{7 {(5 - 7 x)}^{3}} + C$

Etapa 13

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \frac{3}{{(5 - 7 x)}^{4}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{7 {(5 - 7 x)}^{3}} + C$