Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{1}{10} x^{5} - 12 x^{3}$

Etapa 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{1}{10} x^{5} - 12 x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Etapa 1.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{5}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

Como $\frac{1}{10}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{10} x^{5}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$\frac{1}{10} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Etapa 1.1.1.2.3

Combine $5$ e $\frac{1}{10}$ .

$\frac{5}{10} x^{4} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Etapa 1.1.1.2.4

Combine $\frac{5}{10}$ e $x^{4}$ .

$\frac{5 x^{4}}{10} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Etapa 1.1.1.2.5

Cancele o fator comum de $5$ e $10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.5.1

Fatore $5$ de $5 x^{4}$ .

$\frac{5 (x^{4})}{10} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Etapa 1.1.1.2.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.5.2.1

Fatore $5$ de $10$ .

$\frac{5 x^{4}}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Etapa 1.1.1.2.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{5 x^{4}}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Etapa 1.1.1.2.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Etapa 1.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.1

Como $- 12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 12 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{x^{4}}{2} - 12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 1.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{x^{4}}{2} - 12 (3 x^{2})$

Etapa 1.1.1.3.3

Multiplique $3$ por $- 12$ .

$f' (x) = \frac{x^{4}}{2} - 36 x^{2}$

Etapa 1.1.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{x^{4}}{2} - 36 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Etapa 1.1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.2.1

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x^{4}}{2}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Etapa 1.1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$\frac{1}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Etapa 1.1.2.2.3

Combine $4$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{4}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Etapa 1.1.2.2.4

Combine $\frac{4}{2}$ e $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Etapa 1.1.2.2.5

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.2.5.1

Fatore $2$ de $4 x^{3}$ .

$\frac{2 (2 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Etapa 1.1.2.2.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.2.5.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Etapa 1.1.2.2.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Etapa 1.1.2.2.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Etapa 1.1.2.2.5.2.4

Divida $2 x^{3}$ por $1$ .

$2 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Etapa 1.1.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1

Como $- 36$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 36 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 x^{3} - 36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x^{3} - 36 (2 x)$

Etapa 1.1.2.3.3

Multiplique $2$ por $- 36$ .

$f'' (x) = 2 x^{3} - 72 x$

Etapa 1.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $2 x^{3} - 72 x$ .

$2 x^{3} - 72 x$

Etapa 1.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $2 x^{3} - 72 x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$2 x^{3} - 72 x = 0$

Etapa 1.2.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Fatore $2 x$ de $2 x^{3} - 72 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1.1

Fatore $2 x$ de $2 x^{3}$ .

$2 x (x^{2}) - 72 x = 0$

Etapa 1.2.2.1.2

Fatore $2 x$ de $- 72 x$ .

$2 x (x^{2}) + 2 x (- 36) = 0$

Etapa 1.2.2.1.3

Fatore $2 x$ de $2 x (x^{2}) + 2 x (- 36)$ .

$2 x (x^{2} - 36) = 0$

Etapa 1.2.2.2

Reescreva $36$ como $6^{2}$ .

$2 x (x^{2} - 6^{2}) = 0$

Etapa 1.2.2.3

Fatore.

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Etapa 1.2.2.3.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 6$ .

$2 x ((x + 6) (x - 6)) = 0$

Etapa 1.2.2.3.2

Remova os parênteses desnecessários.

$2 x (x + 6) (x - 6) = 0$

Etapa 1.2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x + 6 = 0$

$x - 6 = 0$

Etapa 1.2.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 1.2.5

Defina $x + 6$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Defina $x + 6$ como igual a $0$ .

$x + 6 = 0$

Etapa 1.2.5.2

Subtraia $6$ dos dois lados da equação.

$x = - 6$

Etapa 1.2.6

Defina $x - 6$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.1

Defina $x - 6$ como igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

Etapa 1.2.6.2

Some $6$ aos dois lados da equação.

$x = 6$

Etapa 1.2.7

A solução final são todos os valores que tornam $2 x (x + 6) (x - 6) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, - 6, 6$

Etapa 2

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 3

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(- \infty, - 6) \cup (- 6, 0) \cup (0, 6) \cup (6, \infty)$

Etapa 4

Substitua qualquer número do intervalo $(- \infty, - 6)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $- 8$ na expressão.

$f'' (- 8) = 2 {(- 8)}^{3} - 72 \cdot - 8$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Eleve $- 8$ à potência de $3$ .

$f'' (- 8) = 2 \cdot - 512 - 72 \cdot - 8$

Etapa 4.2.1.2

Multiplique $2$ por $- 512$ .

$f'' (- 8) = - 1024 - 72 \cdot - 8$

Etapa 4.2.1.3

Multiplique $- 72$ por $- 8$ .

$f'' (- 8) = - 1024 + 576$

Etapa 4.2.2

Some $- 1024$ e $576$ .

$f'' (- 8) = - 448$

Etapa 4.2.3

A resposta final é $- 448$ .

$- 448$

Etapa 4.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(- \infty, - 6)$ porque $f'' (- 8)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(- \infty, - 6)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 5

Substitua qualquer número do intervalo $(- 6, 0)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 3$ na expressão.

$f'' (- 3) = 2 {(- 3)}^{3} - 72 \cdot - 3$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Eleve $- 3$ à potência de $3$ .

$f'' (- 3) = 2 \cdot - 27 - 72 \cdot - 3$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $2$ por $- 27$ .

$f'' (- 3) = - 54 - 72 \cdot - 3$

Etapa 5.2.1.3

Multiplique $- 72$ por $- 3$ .

$f'' (- 3) = - 54 + 216$

Etapa 5.2.2

Some $- 54$ e $216$ .

$f'' (- 3) = 162$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $162$ .

$162$

Etapa 5.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(- 6, 0)$ porque $f'' (- 3)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(- 6, 0)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 6

Substitua qualquer número do intervalo $(0, 6)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $3$ na expressão.

$f'' (3) = 2 {(3)}^{3} - 72 \cdot 3$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$f'' (3) = 2 \cdot 27 - 72 \cdot 3$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $2$ por $27$ .

$f'' (3) = 54 - 72 \cdot 3$

Etapa 6.2.1.3

Multiplique $- 72$ por $3$ .

$f'' (3) = 54 - 216$

Etapa 6.2.2

Subtraia $216$ de $54$ .

$f'' (3) = - 162$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $- 162$ .

$- 162$

Etapa 6.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(0, 6)$ porque $f'' (3)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(0, 6)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 7

Substitua qualquer número do intervalo $(6, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $8$ na expressão.

$f'' (8) = 2 {(8)}^{3} - 72 \cdot 8$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Eleve $8$ à potência de $3$ .

$f'' (8) = 2 \cdot 512 - 72 \cdot 8$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $2$ por $512$ .

$f'' (8) = 1024 - 72 \cdot 8$

Etapa 7.2.1.3

Multiplique $- 72$ por $8$ .

$f'' (8) = 1024 - 576$

Etapa 7.2.2

Subtraia $576$ de $1024$ .

$f'' (8) = 448$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $448$ .

$448$

Etapa 7.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(6, \infty)$ porque $f'' (8)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(6, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 8

O gráfico tem concavidade para baixo quando a segunda derivada é negativa e concavidade para cima quando a segunda derivada é positiva.

Concavidade para baixo em $(- \infty, - 6)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Concavidade para cima em $(- 6, 0)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Concavidade para baixo em $(0, 6)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Concavidade para cima em $(6, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 9