Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1 - 2 x}{x^{2}}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} - 1 - 2 x}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} - lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} 2 x}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 1.1.2.2

Mova o limite para o expoente.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} 2 x}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 1.1.2.3

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1 - lim_{x \to 0} 2 x}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 1.1.2.4

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1 - 2 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 1.1.2.5

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.1.2.5.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{e^{0} - 1 \cdot 1 - 2 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 1.1.2.5.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{e^{0} - 1 \cdot 1 - 2 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 1.1.2.6

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.2.6.1.1

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1 - 2 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 1.1.2.6.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1 - 2 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 1.1.2.6.1.3

Multiplique $- 2$ por $0$ .

$\frac{1 - 1 + 0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 1.1.2.6.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 1.1.2.6.3

Some $0$ e $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{0^{2}}$

Etapa 1.1.3.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1 - 2 x}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1 - 2 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1 - 2 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{x} - 1 - 2 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 1.3.3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 1.3.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 1.3.5

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Etapa 1.3.5.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 0 - 2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 1.3.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 0 - 2 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 1.3.5.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 0 - 2}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 1.3.6

Some $e^{x}$ e $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 2}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 1.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 2}{2 x}$

Etapa 2

Como a função se aproxima de $\infty$ a partir da esquerda e de $- \infty$ a partir da direita, o limite não existe.

$Não existe$