Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$ on interval $- 2$ , $- 1$

Etapa 1

Encontre os pontos críticos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = {(x - 1)}^{2}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}{{({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

Multiplique os expoentes em ${({(x - 1)}^{2})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}{{(x - 1)}^{2 \cdot 2}}$

Etapa 1.1.1.2.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.2.3

Mova $2$ para a esquerda de ${(x - 1)}^{2}$ .

$\frac{2 \cdot {(x - 1)}^{2} x - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - 1$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x - 1])}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [x - 1])}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 1$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - x^{2} (2 (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.4

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.4.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.4.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]))}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]))}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.4.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) (1 + 0))}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.4.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.4.5.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) \cdot 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.4.5.2

Multiplique $x - 1$ por $1$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} (x - 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.5.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.5.2.1.1

Reescreva ${(x - 1)}^{2}$ como $(x - 1) (x - 1)$ .

$\frac{2 ((x - 1) (x - 1)) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.5.2.1.2

Expanda $(x - 1) (x - 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.5.2.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 (x (x - 1) - 1 (x - 1)) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.5.2.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.5.2.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.5.2.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.5.2.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.5.2.1.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{2 (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.5.2.1.3.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{2 (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.5.2.1.3.1.3

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{2 (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.5.2.1.3.1.4

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{2 (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.5.2.1.3.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{2 (x^{2} - x - x + 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.5.2.1.3.2

Subtraia $x$ de $- x$ .

$\frac{2 (x^{2} - 2 x + 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.5.2.1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.5.2.1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.5.2.1.5.1

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$\frac{(2 x^{2} - 4 x + 2 \cdot 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.5.2.1.5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{(2 x^{2} - 4 x + 2) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.5.2.1.6

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{2} x - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.5.2.1.7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.5.2.1.7.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.5.2.1.7.1.1

Mova $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.5.2.1.7.1.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.5.2.1.7.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.5.2.1.7.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 x^{1 + 2} - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.5.2.1.7.1.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.5.2.1.7.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.5.2.1.7.2.1

Mova $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 (x \cdot x) + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.5.2.1.7.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.5.2.1.8

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.5.2.1.8.1

Mova $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.5.2.1.8.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.5.2.1.8.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 (x^{1} x^{2}) - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.5.2.1.8.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{1 + 2} - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.5.2.1.8.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.5.2.1.9

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} + 2 x^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.5.2.2

Combine os termos opostos em $2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} + 2 x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.5.2.2.1

Subtraia $2 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 2 x + 0 + 2 x^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.5.2.2.2

Some $- 4 x^{2} + 2 x$ e $0$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 2 x + 2 x^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.5.2.3

Some $- 4 x^{2}$ e $2 x^{2}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 2 x}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.5.3

Fatore $2 x$ de $- 2 x^{2} + 2 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.5.3.1

Fatore $2 x$ de $- 2 x^{2}$ .

$\frac{2 x (- x) + 2 x}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.5.3.2

Fatore $2 x$ de $2 x$ .

$\frac{2 x (- x) + 2 x (1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.5.3.3

Fatore $2 x$ de $2 x (- x) + 2 x (1)$ .

$\frac{2 x (- x + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.5.4

Cancele o fator comum de $- x + 1$ e ${(x - 1)}^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.5.4.1

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$\frac{2 x (- (x) + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.5.4.2

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{2 x (- (x) - 1 (- 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.5.4.3

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{2 x (- (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.5.4.4

Reescreva $- (x - 1)$ como $- 1 (x - 1)$ .

$\frac{2 x (- 1 (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.5.4.5

Fatore $x - 1$ de $2 x (- 1 (x - 1))$ .

$\frac{(x - 1) (2 x \cdot (- 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.5.4.6

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.5.4.6.1

Fatore $x - 1$ de ${(x - 1)}^{4}$ .

$\frac{(x - 1) (2 x \cdot (- 1))}{(x - 1) {(x - 1)}^{3}}$

Etapa 1.1.1.5.4.6.2

Cancele o fator comum.

$\frac{(x - 1) (2 x \cdot (- 1))}{(x - 1) {(x - 1)}^{3}}$

Etapa 1.1.1.5.4.6.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2 x \cdot (- 1)}{{(x - 1)}^{3}}$

Etapa 1.1.1.5.5

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{- 2 x}{{(x - 1)}^{3}}$

Etapa 1.1.1.5.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = - \frac{2 x}{{(x - 1)}^{3}}$

Etapa 1.1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{2 x}{{(x - 1)}^{3}}$ .

$- \frac{2 x}{{(x - 1)}^{3}}$

Etapa 1.2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{2 x}{{(x - 1)}^{3}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- \frac{2 x}{{(x - 1)}^{3}} = 0$

Etapa 1.2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$2 x = 0$

Etapa 1.2.3

Divida cada termo em $2 x = 0$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Divida cada termo em $2 x = 0$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 1.2.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Etapa 1.2.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.3.1

Divida $0$ por $2$ .

$x = 0$

Etapa 1.3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Defina o denominador em $\frac{2 x}{{(x - 1)}^{3}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

${(x - 1)}^{3} = 0$

Etapa 1.3.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 1.3.2.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 1.4

Avalie $\frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Avalie em $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.1

Substitua $0$ por $x$ .

$\frac{{(0)}^{2}}{{((0) - 1)}^{2}}$

Etapa 1.4.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{0}{{(0 - 1)}^{2}}$

Etapa 1.4.1.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.2.1

Subtraia $1$ de $0$ .

$\frac{0}{{(- 1)}^{2}}$

Etapa 1.4.1.2.2.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$\frac{0}{1}$

Etapa 1.4.1.2.3

Divida $0$ por $1$ .

$0$

Etapa 1.4.2

Avalie em $x = 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Substitua $1$ por $x$ .

$\frac{{(1)}^{2}}{{((1) - 1)}^{2}}$

Etapa 1.4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{{(1)}^{2}}{0^{2}}$

Etapa 1.4.2.2.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{{(1)}^{2}}{0}$

Etapa 1.4.2.2.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 1.4.3

Liste todos os pontos.

$(0, 0)$

Etapa 2

Exclua os pontos que não estão no intervalo.

Etapa 3

Avalie nos pontos finais incluídos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Avalie em $x = - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Substitua $- 2$ por $x$ .

$\frac{{(- 2)}^{2}}{{((- 2) - 1)}^{2}}$

Etapa 3.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$\frac{4}{{(- 2 - 1)}^{2}}$

Etapa 3.1.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.2.1

Subtraia $1$ de $- 2$ .

$\frac{4}{{(- 3)}^{2}}$

Etapa 3.1.2.2.2

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$\frac{4}{9}$

Etapa 3.2

Avalie em $x = - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Substitua $- 1$ por $x$ .

$\frac{{(- 1)}^{2}}{{((- 1) - 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$\frac{1}{{(- 1 - 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.2.1

Subtraia $1$ de $- 1$ .

$\frac{1}{{(- 2)}^{2}}$

Etapa 3.2.2.2.2

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$\frac{1}{4}$

Etapa 3.3

Liste todos os pontos.

$(- 2, \frac{4}{9}), (- 1, \frac{1}{4})$

Etapa 4

Compare os valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar o máximo e mínimo absolutos no intervalo determinado. O máximo ocorrerá no valor mais alto de $f (x)$ , e o mínimo ocorrerá no valor mais baixo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(- 2, \frac{4}{9})$

Mínimo absoluto: $(- 1, \frac{1}{4})$

Etapa 5