Cálculo Exemplos

$f (x) = 3 x^{2} - x^{3}$ , $[1, \frac{5}{2}]$

Etapa 1

Encontre os pontos críticos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{2} - x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Etapa 1.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Etapa 1.1.1.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Etapa 1.1.1.2.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Etapa 1.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Etapa 1.1.1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{3}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$6 x - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 1.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$6 x - (3 x^{2})$

Etapa 1.1.1.3.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$6 x - 3 x^{2}$

Etapa 1.1.1.4

Reordene os termos.

$f' (x) = - 3 x^{2} + 6 x$

Etapa 1.1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 3 x^{2} + 6 x$ .

$- 3 x^{2} + 6 x$

Etapa 1.2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 3 x^{2} + 6 x = 0$ .

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Etapa 1.2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- 3 x^{2} + 6 x = 0$

Etapa 1.2.2

Fatore $- 3 x$ de $- 3 x^{2} + 6 x$ .

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Etapa 1.2.2.1

Fatore $- 3 x$ de $- 3 x^{2}$ .

$- 3 x \cdot x + 6 x = 0$

Etapa 1.2.2.2

Fatore $- 3 x$ de $6 x$ .

$- 3 x \cdot x - 3 x \cdot - 2 = 0$

Etapa 1.2.2.3

Fatore $- 3 x$ de $- 3 x (x) - 3 x (- 2)$ .

$- 3 x (x - 2) = 0$

Etapa 1.2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x - 2 = 0$

Etapa 1.2.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 1.2.5

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 1.2.5.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 1.2.5.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 1.2.6

A solução final são todos os valores que tornam $- 3 x (x - 2) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 2$

Etapa 1.3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 1.3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 1.4

Avalie $3 x^{2} - x^{3}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 1.4.1

Avalie em $x = 0$ .

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Etapa 1.4.1.1

Substitua $0$ por $x$ .

$3 {(0)}^{2} - {(0)}^{3}$

Etapa 1.4.1.2

Simplifique.

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Etapa 1.4.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.4.1.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$3 \cdot 0 - {(0)}^{3}$

Etapa 1.4.1.2.1.2

Multiplique $3$ por $0$ .

$0 - {(0)}^{3}$

Etapa 1.4.1.2.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 - 0$

Etapa 1.4.1.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$0 + 0$

Etapa 1.4.1.2.2

Some $0$ e $0$ .

$0$

Etapa 1.4.2

Avalie em $x = 2$ .

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Etapa 1.4.2.1

Substitua $2$ por $x$ .

$3 {(2)}^{2} - {(2)}^{3}$

Etapa 1.4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$3 \cdot 4 - {(2)}^{3}$

Etapa 1.4.2.2.1.2

Multiplique $3$ por $4$ .

$12 - {(2)}^{3}$

Etapa 1.4.2.2.1.3

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$12 - 1 \cdot 8$

Etapa 1.4.2.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$12 - 8$

Etapa 1.4.2.2.2

Subtraia $8$ de $12$ .

$4$

Etapa 1.4.3

Liste todos os pontos.

$(0, 0), (2, 4)$

Etapa 2

Exclua os pontos que não estão no intervalo.

$(2, 4)$

Etapa 3

Avalie nos pontos finais incluídos.

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Etapa 3.1

Avalie em $x = 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Substitua $1$ por $x$ .

$3 {(1)}^{2} - {(1)}^{3}$

Etapa 3.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$3 \cdot 1 - {(1)}^{3}$

Etapa 3.1.2.1.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$3 - {(1)}^{3}$

Etapa 3.1.2.1.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$3 - 1 \cdot 1$

Etapa 3.1.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$3 - 1$

Etapa 3.1.2.2

Subtraia $1$ de $3$ .

$2$

Etapa 3.2

Avalie em $x = \frac{5}{2}$ .

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Etapa 3.2.1

Substitua $\frac{5}{2}$ por $x$ .

$3 {(\frac{5}{2})}^{2} - {(\frac{5}{2})}^{3}$

Etapa 3.2.2

Simplifique.

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Etapa 3.2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.2.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{5}{2}$ .

$3 \frac{5^{2}}{2^{2}} - {(\frac{5}{2})}^{3}$

Etapa 3.2.2.1.2

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$3 \frac{25}{2^{2}} - {(\frac{5}{2})}^{3}$

Etapa 3.2.2.1.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$3 (\frac{25}{4}) - {(\frac{5}{2})}^{3}$

Etapa 3.2.2.1.4

Multiplique $3 (\frac{25}{4})$ .

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Etapa 3.2.2.1.4.1

Combine $3$ e $\frac{25}{4}$ .

$\frac{3 \cdot 25}{4} - {(\frac{5}{2})}^{3}$

Etapa 3.2.2.1.4.2

Multiplique $3$ por $25$ .

$\frac{75}{4} - {(\frac{5}{2})}^{3}$

Etapa 3.2.2.1.5

Aplique a regra do produto a $\frac{5}{2}$ .

$\frac{75}{4} - \frac{5^{3}}{2^{3}}$

Etapa 3.2.2.1.6

Eleve $5$ à potência de $3$ .

$\frac{75}{4} - \frac{125}{2^{3}}$

Etapa 3.2.2.1.7

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$\frac{75}{4} - \frac{125}{8}$

Etapa 3.2.2.2

Para escrever $\frac{75}{4}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{75}{4} \cdot \frac{2}{2} - \frac{125}{8}$

Etapa 3.2.2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $8$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 3.2.2.3.1

Multiplique $\frac{75}{4}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{75 \cdot 2}{4 \cdot 2} - \frac{125}{8}$

Etapa 3.2.2.3.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$\frac{75 \cdot 2}{8} - \frac{125}{8}$

Etapa 3.2.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{75 \cdot 2 - 125}{8}$

Etapa 3.2.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.2.2.5.1

Multiplique $75$ por $2$ .

$\frac{150 - 125}{8}$

Etapa 3.2.2.5.2

Subtraia $125$ de $150$ .

$\frac{25}{8}$

Etapa 3.3

Liste todos os pontos.

$(1, 2), (\frac{5}{2}, \frac{25}{8})$

Etapa 4

Compare os valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar o máximo e mínimo absolutos no intervalo determinado. O máximo ocorrerá no valor mais alto de $f (x)$ , e o mínimo ocorrerá no valor mais baixo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(2, 4)$

Mínimo absoluto: $(1, 2)$

Etapa 5