Cálculo Exemplos

$\frac{\sin (x)}{1 + 3 \cos (x)}$

Etapa 1

Escreva $\frac{\sin (x)}{1 + 3 \cos (x)}$ como uma função.

$f (x) = \frac{\sin (x)}{1 + 3 \cos (x)}$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{\sin (x)}{1 + 3 \cos (x)} d x$

Etapa 4

Deixe $u = 1 + 3 \cos (x)$ . Depois, $d u = - 3 \sin (x) d x$ , então, $- \frac{1}{3} d u = \sin (x) d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 4.1

Deixe $u = 1 + 3 \cos (x)$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 4.1.1

Diferencie $1 + 3 \cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [1 + 3 \cos (x)]$

Etapa 4.1.2

Diferencie.

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Etapa 4.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + 3 \cos (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Etapa 4.1.2.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Etapa 4.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

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Etapa 4.1.3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 \cos (x)$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$0 + 3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 4.1.3.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$0 + 3 (- \sin (x))$

Etapa 4.1.3.3

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$0 - 3 \sin (x)$

Etapa 4.1.4

Subtraia $3 \sin (x)$ de $0$ .

$- 3 \sin (x)$

Etapa 4.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 3} d u$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int \frac{1}{u} (- \frac{1}{3}) d u$

Etapa 5.2

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\int - \frac{1}{u \cdot 3} d u$

Etapa 5.3

Mova $3$ para a esquerda de $u$ .

$\int - \frac{1}{3 u} d u$

Etapa 6

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int \frac{1}{3 u} d u$

Etapa 7

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$- (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u)$

Etapa 8

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C)$

Etapa 9

Simplifique.

$- \frac{1}{3} \ln (| u |) + C$

Etapa 10

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 + 3 \cos (x)$ .

$- \frac{1}{3} \ln (| 1 + 3 \cos (x) |) + C$

Etapa 11

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \frac{\sin (x)}{1 + 3 \cos (x)}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{3} \ln (| 1 + 3 \cos (x) |) + C$