Cálculo Exemplos

$\int \frac{1}{\sqrt{8 + 2 x - x^{2}}} d x$

Etapa 1

Reescreva $8$ como $9$ mais $- 1$

$\int \frac{1}{\sqrt{9 - 1 + 2 x - x^{2}}} d x$

Etapa 2

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 2.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{9 - (1^{2} - 2 x + x^{2})}} d x$

Etapa 2.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$2 x = 2 \cdot 1 \cdot x$

Etapa 2.3

Reescreva o polinômio.

$\int \frac{1}{\sqrt{9 - (1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot x + x^{2})}} d x$

Etapa 2.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , em que $a = 1$ e $b = x$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{9 - {(1 - x)}^{2}}} d x$

Etapa 3

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3^{2} - {(1 - x)}^{2}}} d x$

Etapa 4

Deixe $u = 1 - x$ . Depois, $d u = - d x$ , então, $- d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 4.1

Deixe $u = 1 - x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 4.1.1

Reescreva.

$\frac{- 1}{1}$

Etapa 4.1.2

Divida $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 4.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{- 1}{\sqrt{3^{2} - u^{2}}} d u$

Etapa 5

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int \frac{1}{\sqrt{3^{2} - u^{2}}} d u$

Etapa 6

A integral de $\frac{1}{\sqrt{3^{2} - u^{2}}}$ com relação a $u$ é $\arcsin (\frac{u}{3})$

$- (\arcsin (\frac{u}{3}) + C)$

Etapa 7

Reescreva $- (\arcsin (\frac{u}{3}) + C)$ como $- \arcsin (\frac{1}{3} u) + C$ .

$- \arcsin (\frac{1}{3} u) + C$

Etapa 8

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 - x$ .

$- \arcsin (\frac{1}{3} (1 - x)) + C$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- \arcsin (\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{3} (- x)) + C$

Etapa 9.2

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$- \arcsin (\frac{1}{3} + \frac{1}{3} (- x)) + C$

Etapa 9.3

Combine $\frac{1}{3}$ e $x$ .

$- \arcsin (\frac{1}{3} - \frac{x}{3}) + C$

Etapa 10

Reordene os termos.

$- \arcsin (\frac{1}{3} - \frac{1}{3} x) + C$