Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + x} - 1}{\sqrt{4 + x} - 2}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} \sqrt{1 + x} - 1}{lim_{x \to 0} \sqrt{4 + x} - 2}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \sqrt{1 + x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sqrt{4 + x} - 2}$

Etapa 1.1.2.1.2

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} 1 + x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sqrt{4 + x} - 2}$

Etapa 1.1.2.1.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sqrt{4 + x} - 2}$

Etapa 1.1.2.1.4

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\sqrt{1 + lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sqrt{4 + x} - 2}$

Etapa 1.1.2.1.5

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\sqrt{1 + lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \sqrt{4 + x} - 2}$

Etapa 1.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{\sqrt{1 + 0} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \sqrt{4 + x} - 2}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{\sqrt{1} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \sqrt{4 + x} - 2}$

Etapa 1.1.2.3.1.2

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \sqrt{4 + x} - 2}$

Etapa 1.1.2.3.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} \sqrt{4 + x} - 2}$

Etapa 1.1.2.3.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sqrt{4 + x} - 2}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sqrt{4 + x} - lim_{x \to 0} 2}$

Etapa 1.1.3.1.2

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 0} 4 + x} - lim_{x \to 0} 2}$

Etapa 1.1.3.1.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 0} 4 + lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 2}$

Etapa 1.1.3.1.4

Avalie o limite de $4$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{\sqrt{4 + lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 2}$

Etapa 1.1.3.1.5

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{\sqrt{4 + lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 2}$

Etapa 1.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{\sqrt{4 + 0} - 1 \cdot 2}$

Etapa 1.1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.3.3.1.1

Some $4$ e $0$ .

$\frac{0}{\sqrt{4} - 1 \cdot 2}$

Etapa 1.1.3.3.1.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{0}{\sqrt{2^{2}} - 1 \cdot 2}$

Etapa 1.1.3.3.1.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{0}{2 - 1 \cdot 2}$

Etapa 1.1.3.3.1.4

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{0}{2 - 2}$

Etapa 1.1.3.3.2

Subtraia $2$ de $2$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + x} - 1}{\sqrt{4 + x} - 2} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{1 + x} - 1]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{4 + x} - 2]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{1 + x} - 1]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{4 + x} - 2]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sqrt{1 + x} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\sqrt{1 + x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{1 + x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{4 + x} - 2]}$

Etapa 1.3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\sqrt{1 + x}]$ .

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Etapa 1.3.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{1 + x}$ como ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(1 + x)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{4 + x} - 2]}$

Etapa 1.3.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 1 + x$ .

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Etapa 1.3.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $1 + x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{4 + x} - 2]}$

Etapa 1.3.3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{4 + x} - 2]}$

Etapa 1.3.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 + x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{4 + x} - 2]}$

Etapa 1.3.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{4 + x} - 2]}$

Etapa 1.3.3.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{4 + x} - 2]}$

Etapa 1.3.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{4 + x} - 2]}$

Etapa 1.3.3.6

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{4 + x} - 2]}$

Etapa 1.3.3.7

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{4 + x} - 2]}$

Etapa 1.3.3.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{4 + x} - 2]}$

Etapa 1.3.3.9

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.3.3.9.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{4 + x} - 2]}$

Etapa 1.3.3.9.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{- 1}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{4 + x} - 2]}$

Etapa 1.3.3.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 + x)}^{- \frac{1}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{4 + x} - 2]}$

Etapa 1.3.3.11

Some $0$ e $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 + x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{4 + x} - 2]}$

Etapa 1.3.3.12

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(1 + x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{{(1 + x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{4 + x} - 2]}$

Etapa 1.3.3.13

Multiplique $\frac{{(1 + x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{{(1 + x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{4 + x} - 2]}$

Etapa 1.3.3.14

Mova ${(1 + x)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{4 + x} - 2]}$

Etapa 1.3.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [\sqrt{4 + x} - 2]}$

Etapa 1.3.5

Some $\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$ e $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [\sqrt{4 + x} - 2]}$

Etapa 1.3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sqrt{4 + x} - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\sqrt{4 + x}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [\sqrt{4 + x}] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Etapa 1.3.7

Avalie $\frac{d}{d x} [\sqrt{4 + x}]$ .

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Etapa 1.3.7.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{4 + x}$ como ${(4 + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [{(4 + x)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Etapa 1.3.7.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 4 + x$ .

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Etapa 1.3.7.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $4 + x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 + x] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Etapa 1.3.7.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 + x] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Etapa 1.3.7.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 + x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(4 + x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 + x] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Etapa 1.3.7.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 + x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(4 + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Etapa 1.3.7.4

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(4 + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Etapa 1.3.7.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(4 + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Etapa 1.3.7.6

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(4 + x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Etapa 1.3.7.7

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(4 + x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Etapa 1.3.7.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(4 + x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Etapa 1.3.7.9

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.3.7.9.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(4 + x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Etapa 1.3.7.9.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(4 + x)}^{\frac{- 1}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Etapa 1.3.7.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(4 + x)}^{- \frac{1}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Etapa 1.3.7.11

Some $0$ e $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(4 + x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Etapa 1.3.7.12

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(4 + x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{{(4 + x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Etapa 1.3.7.13

Multiplique $\frac{{(4 + x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{{(4 + x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Etapa 1.3.7.14

Mova ${(4 + x)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2 {(4 + x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Etapa 1.3.8

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2 {(4 + x)}^{\frac{1}{2}}} + 0}$

Etapa 1.3.9

Some $\frac{1}{2 {(4 + x)}^{\frac{1}{2}}}$ e $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2 {(4 + x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 1.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(4 + x)}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 1.5

Converta expoentes fracionários em radicais.

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Etapa 1.5.1

Reescreva ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{1 + x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{1 + x}} (2 {(4 + x)}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 1.5.2

Reescreva ${(4 + x)}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{4 + x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{1 + x}} (2 \sqrt{4 + x})$

Etapa 1.6

Combine os fatores.

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Etapa 1.6.1

Combine $2$ e $\frac{1}{2 \sqrt{1 + x}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2}{2 \sqrt{1 + x}} \sqrt{4 + x}$

Etapa 1.6.2

Combine $\frac{2}{2 \sqrt{1 + x}}$ e $\sqrt{4 + x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sqrt{4 + x}}{2 \sqrt{1 + x}}$

Etapa 1.7

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sqrt{4 + x}}{2 \sqrt{1 + x}}$

Etapa 1.7.2

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{4 + x}}{\sqrt{1 + x}}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \sqrt{4 + x}}{lim_{x \to 0} \sqrt{1 + x}}$

Etapa 2.2

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} 4 + x}}{lim_{x \to 0} \sqrt{1 + x}}$

Etapa 2.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} 4 + lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} \sqrt{1 + x}}$

Etapa 2.4

Avalie o limite de $4$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\sqrt{4 + lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} \sqrt{1 + x}}$

Etapa 2.5

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{\sqrt{4 + lim_{x \to 0} x}}{\sqrt{lim_{x \to 0} 1 + x}}$

Etapa 2.6

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\sqrt{4 + lim_{x \to 0} x}}{\sqrt{lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} x}}$

Etapa 2.7

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\sqrt{4 + lim_{x \to 0} x}}{\sqrt{1 + lim_{x \to 0} x}}$

Etapa 3

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 3.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{\sqrt{4 + 0}}{\sqrt{1 + lim_{x \to 0} x}}$

Etapa 3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{\sqrt{4 + 0}}{\sqrt{1 + 0}}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Some $4$ e $0$ .

$\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{1 + 0}}$

Etapa 4.1.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{1 + 0}}$

Etapa 4.1.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{2}{\sqrt{1 + 0}}$

Etapa 4.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.2.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{2}{\sqrt{1}}$

Etapa 4.2.2

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$\frac{2}{1}$

Etapa 4.3

Divida $2$ por $1$ .

$2$