Cálculo Exemplos

$\frac{2}{4 x - 3}$

Etapa 1

Escreva $\frac{2}{4 x - 3}$ como uma função.

$f (x) = \frac{2}{4 x - 3}$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{2}{4 x - 3} d x$

Etapa 4

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int \frac{1}{4 x - 3} d x$

Etapa 5

Deixe $u = 4 x - 3$ . Depois, $d u = 4 d x$ , então, $\frac{1}{4} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 5.1

Deixe $u = 4 x - 3$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 5.1.1

Diferencie $4 x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [4 x - 3]$

Etapa 5.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 5.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Etapa 5.1.3.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 5.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 5.1.3.3

Multiplique $4$ por $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 5.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 5.1.4.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 + 0$

Etapa 5.1.4.2

Some $4$ e $0$ .

$4$

Etapa 5.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{4} d u$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{4}$ .

$2 \int \frac{1}{u \cdot 4} d u$

Etapa 6.2

Mova $4$ para a esquerda de $u$ .

$2 \int \frac{1}{4 u} d u$

Etapa 7

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$2 (\frac{1}{4} \int \frac{1}{u} d u)$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Combine $\frac{1}{4}$ e $2$ .

$\frac{2}{4} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 8.2

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

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Etapa 8.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (1)}{4} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 8.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 8.2.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 8.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 8.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 9

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

Etapa 10

Simplifique.

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

Etapa 11

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 x - 3$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 4 x - 3 |) + C$

Etapa 12

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \frac{2}{4 x - 3}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} \ln (| 4 x - 3 |) + C$