Cálculo Exemplos

$2 + 5 \arctan (\frac{t}{2})$

Etapa 1

Diferencie.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 + 5 \arctan (\frac{t}{2})$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [2] + \frac{d}{d t} [5 \arctan (\frac{t}{2})]$ .

$\frac{d}{d t} [2] + \frac{d}{d t} [5 \arctan (\frac{t}{2})]$

Etapa 1.2

Como $2$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $2$ em relação a $t$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [5 \arctan (\frac{t}{2})]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d t} [5 \arctan (\frac{t}{2})]$ .

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Etapa 2.1

Como $5$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $5 \arctan (\frac{t}{2})$ em relação a $t$ é $5 \frac{d}{d t} [\arctan (\frac{t}{2})]$ .

$0 + 5 \frac{d}{d t} [\arctan (\frac{t}{2})]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = \arctan (t)$ e $g (t) = \frac{t}{2}$ .

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Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{t}{2}$ .

$0 + 5 (\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}])$

Etapa 2.2.2

A derivada de $\arctan (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$0 + 5 (\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}])$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{t}{2}$ .

$0 + 5 (\frac{1}{1 + {(\frac{t}{2})}^{2}} \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}])$

Etapa 2.3

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $\frac{t}{2}$ em relação a $t$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t]$ .

$0 + 5 (\frac{1}{1 + {(\frac{t}{2})}^{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t]))$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 + 5 (\frac{1}{1 + {(\frac{t}{2})}^{2}} (\frac{1}{2} \cdot 1))$

Etapa 2.5

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$0 + 5 (\frac{1}{1 + {(\frac{t}{2})}^{2}} \cdot \frac{1}{2})$

Etapa 2.6

Multiplique $\frac{1}{1 + {(\frac{t}{2})}^{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$0 + 5 \frac{1}{(1 + {(\frac{t}{2})}^{2}) \cdot 2}$

Etapa 2.7

Mova $2$ para a esquerda de $1 + {(\frac{t}{2})}^{2}$ .

$0 + 5 \frac{1}{2 \cdot (1 + {(\frac{t}{2})}^{2})}$

Etapa 2.8

Combine $5$ e $\frac{1}{2 (1 + {(\frac{t}{2})}^{2})}$ .

$0 + \frac{5}{2 (1 + {(\frac{t}{2})}^{2})}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a regra do produto a $\frac{t}{2}$ .

$0 + \frac{5}{2 (1 + \frac{t^{2}}{2^{2}})}$

Etapa 3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$0 + \frac{5}{2 \cdot 1 + 2 \frac{t^{2}}{2^{2}}}$

Etapa 3.3

Combine os termos.

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Etapa 3.3.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$0 + \frac{5}{2 + 2 \frac{t^{2}}{2^{2}}}$

Etapa 3.3.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$0 + \frac{5}{2 + 2 \frac{t^{2}}{4}}$

Etapa 3.3.3

Combine $2$ e $\frac{t^{2}}{4}$ .

$0 + \frac{5}{2 + \frac{2 t^{2}}{4}}$

Etapa 3.3.4

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

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Etapa 3.3.4.1

Fatore $2$ de $2 t^{2}$ .

$0 + \frac{5}{2 + \frac{2 (t^{2})}{4}}$

Etapa 3.3.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.3.4.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$0 + \frac{5}{2 + \frac{2 t^{2}}{2 \cdot 2}}$

Etapa 3.3.4.2.2

Cancele o fator comum.

$0 + \frac{5}{2 + \frac{2 t^{2}}{2 \cdot 2}}$

Etapa 3.3.4.2.3

Reescreva a expressão.

$0 + \frac{5}{2 + \frac{t^{2}}{2}}$

Etapa 3.3.5

Some $0$ e $\frac{5}{2 + \frac{t^{2}}{2}}$ .

$\frac{5}{2 + \frac{t^{2}}{2}}$

Etapa 3.4

Reordene os termos.

$\frac{5}{\frac{t^{2}}{2} + 2}$

Etapa 3.5

Simplifique o denominador.

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Etapa 3.5.1

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{5}{\frac{t^{2}}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}}$

Etapa 3.5.2

Combine $2$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{5}{\frac{t^{2}}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}}$

Etapa 3.5.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{5}{\frac{t^{2} + 2 \cdot 2}{2}}$

Etapa 3.5.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{5}{\frac{t^{2} + 4}{2}}$

Etapa 3.6

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$5 \frac{2}{t^{2} + 4}$

Etapa 3.7

Multiplique $5 \frac{2}{t^{2} + 4}$ .

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Etapa 3.7.1

Combine $5$ e $\frac{2}{t^{2} + 4}$ .

$\frac{5 \cdot 2}{t^{2} + 4}$

Etapa 3.7.2

Multiplique $5$ por $2$ .

$\frac{10}{t^{2} + 4}$