Cálculo Exemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + x - 4 x^{2}}{\sqrt{1 + x^{2} + 2 x^{4}}}$

Etapa 1

Divida o numerador e o denominador pela potência mais alta de $x$ no denominador, que é $x^{2} = \sqrt{x^{4}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{2}} + \frac{x}{x^{2}} + \frac{- 4 x^{2}}{x^{2}}}{\sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{x^{2}}{x^{4}} + \frac{2 x^{4}}{x^{4}}}}$

Etapa 2

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Simplifique cada termo.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{2}} + \frac{1}{x} - 4}{\sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{x^{2}}{x^{4}} + \frac{2 x^{4}}{x^{4}}}}$

Etapa 2.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Multiplique por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{2}} + \frac{1}{x} - 4}{\sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{x^{2} \cdot 1}{x^{4}} + \frac{2 x^{4}}{x^{4}}}}$

Etapa 2.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.2.1.2.1

Fatore $x^{2}$ de $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{2}} + \frac{1}{x} - 4}{\sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{x^{2} \cdot 1}{x^{2} x^{2}} + \frac{2 x^{4}}{x^{4}}}}$

Etapa 2.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{2}} + \frac{1}{x} - 4}{\sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{x^{2} \cdot 1}{x^{2} x^{2}} + \frac{2 x^{4}}{x^{4}}}}$

Etapa 2.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{2}} + \frac{1}{x} - 4}{\sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{2 x^{4}}{x^{4}}}}$

Etapa 2.2.2

Cancele o fator comum de $x^{4}$ .

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Etapa 2.2.2.1

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{2}} + \frac{1}{x} - 4}{\sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{2 x^{4}}{x^{4}}}}$

Etapa 2.2.2.2

Divida $2$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{2}} + \frac{1}{x} - 4}{\sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{x^{2}} + 2}}$

Etapa 2.3

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}} + \frac{1}{x} - 4}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{x^{2}} + 2}}$

Etapa 2.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} 4}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{x^{2}} + 2}}$

Etapa 2.5

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} 4}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{x^{2}} + 2}}$

Etapa 3

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x^{2}}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{5 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} 4}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{x^{2}} + 2}}$

Etapa 4

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{5 \cdot 0 + 0 - lim_{x \to \infty} 4}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{x^{2}} + 2}}$

Etapa 5

Avalie o limite.

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Etapa 5.1

Avalie o limite de $4$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{5 \cdot 0 + 0 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{x^{2}} + 2}}$

Etapa 5.2

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{5 \cdot 0 + 0 - 1 \cdot 4}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{x^{2}} + 2}}$

Etapa 5.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{5 \cdot 0 + 0 - 1 \cdot 4}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 2}}$

Etapa 6

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x^{4}}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{5 \cdot 0 + 0 - 1 \cdot 4}{\sqrt{0 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 2}}$

Etapa 7

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x^{2}}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{5 \cdot 0 + 0 - 1 \cdot 4}{\sqrt{0 + 0 + lim_{x \to \infty} 2}}$

Etapa 8

Avalie o limite.

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Etapa 8.1

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{5 \cdot 0 + 0 - 1 \cdot 4}{\sqrt{0 + 0 + 2}}$

Etapa 8.2

Simplifique a resposta.

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Etapa 8.2.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.2.1.1

Multiplique $5$ por $0$ .

$\frac{0 + 0 - 1 \cdot 4}{\sqrt{0 + 0 + 2}}$

Etapa 8.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{0 + 0 - 4}{\sqrt{0 + 0 + 2}}$

Etapa 8.2.1.3

Some $0$ e $0$ .

$\frac{0 - 4}{\sqrt{0 + 0 + 2}}$

Etapa 8.2.1.4

Subtraia $4$ de $0$ .

$\frac{- 4}{\sqrt{0 + 0 + 2}}$

Etapa 8.2.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 8.2.2.1

Some $0$ e $0$ .

$\frac{- 4}{\sqrt{0 + 2}}$

Etapa 8.2.2.2

Some $0$ e $2$ .

$\frac{- 4}{\sqrt{2}}$

Etapa 8.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{4}{\sqrt{2}}$

Etapa 8.2.4

Multiplique $\frac{4}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- (\frac{4}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Etapa 8.2.5

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 8.2.5.1

Multiplique $\frac{4}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- \frac{4 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Etapa 8.2.5.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$- \frac{4 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Etapa 8.2.5.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$- \frac{4 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Etapa 8.2.5.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{4 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Etapa 8.2.5.5

Some $1$ e $1$ .

$- \frac{4 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Etapa 8.2.5.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 8.2.5.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{4 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 8.2.5.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{4 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 8.2.5.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$- \frac{4 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 8.2.5.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 8.2.5.6.4.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{4 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 8.2.5.6.4.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{4 \sqrt{2}}{2^{1}}$

Etapa 8.2.5.6.5

Avalie o expoente.

$- \frac{4 \sqrt{2}}{2}$

Etapa 8.2.6

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

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Etapa 8.2.6.1

Fatore $2$ de $4 \sqrt{2}$ .

$- \frac{2 (2 \sqrt{2})}{2}$

Etapa 8.2.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.6.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$- \frac{2 (2 \sqrt{2})}{2 (1)}$

Etapa 8.2.6.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{2 (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.2.6.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{2 \sqrt{2}}{1}$

Etapa 8.2.6.2.4

Divida $2 \sqrt{2}$ por $1$ .

$- (2 \sqrt{2})$

Etapa 8.2.7

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 \sqrt{2}$

Etapa 9

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- 2 \sqrt{2}$

Forma decimal:

$- 2.82842712 \dots$