Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0^{+}} {\cos (x)}^{\frac{1}{x}}$

Etapa 1

Use as propriedades dos logaritmos para simplificar o limite.

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Etapa 1.1

Reescreva ${\cos (x)}^{\frac{1}{x}}$ como $e^{\ln ({\cos (x)}^{\frac{1}{x}})}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\ln ({\cos (x)}^{\frac{1}{x}})}$

Etapa 1.2

Expanda $\ln ({\cos (x)}^{\frac{1}{x}})$ movendo $\frac{1}{x}$ para fora do logaritmo.

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\frac{1}{x} \ln (\cos (x))}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Mova o limite para o expoente.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} \ln (\cos (x))}$

Etapa 2.2

Combine $\frac{1}{x}$ e $\ln (\cos (x))$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (\cos (x))}{x}}$

Etapa 3

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 3.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 3.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$e^{\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (\cos (x))}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

Etapa 3.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 3.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 3.1.2.1.1

Mova o limite para dentro do logaritmo.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 0^{+}} \cos (x))}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

Etapa 3.1.2.1.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$e^{\frac{\ln (\cos (lim_{x \to 0^{+}} x))}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

Etapa 3.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$e^{\frac{\ln (\cos (0))}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

Etapa 3.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 3.1.2.3.1

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$e^{\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

Etapa 3.1.2.3.2

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

Etapa 3.1.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$e^{\frac{0}{0}}$

Etapa 3.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$e^{\frac{0}{0}}$

Etapa 3.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (\cos (x))}{x} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \cos (x)$ .

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Etapa 3.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\cos (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Etapa 3.3.2.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Etapa 3.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\cos (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{\cos (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Etapa 3.3.3

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{\cos (x)} \cdot - 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Etapa 3.3.4

Combine $\frac{1}{\cos (x)}$ e $\sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Etapa 3.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{1}}$

Etapa 3.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot 1}$

Etapa 3.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Etapa 4

Avalie o limite.

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Etapa 4.1

Mova o termo $- 1$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Etapa 4.2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$e^{- \frac{lim_{x \to 0^{+}} \sin (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \cos (x)}}$

Etapa 4.3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} \cos (x)}}$

Etapa 4.4

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0^{+}} x)}{\cos (lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

Etapa 5

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 5.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$e^{- \frac{\sin (0)}{\cos (lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

Etapa 5.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$e^{- \frac{\sin (0)}{\cos (0)}}$

Etapa 6

Simplifique a resposta.

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Etapa 6.1

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$e^{- \frac{0}{\cos (0)}}$

Etapa 6.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$e^{- \frac{0}{1}}$

Etapa 6.3

Divida $0$ por $1$ .

$e^{- 0}$

Etapa 6.4

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$e^{0}$

Etapa 6.5

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$1$