Cálculo Exemplos

$\int \frac{2 x + 2}{\sqrt{3 x^{2} + 6 x}} d x$

Etapa 1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Fatore $2$ de $2 x + 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$\int \frac{2 (x) + 2}{\sqrt{3 x^{2} + 6 x}} d x$

Etapa 1.1.2

Fatore $2$ de $2$ .

$\int \frac{2 (x) + 2 (1)}{\sqrt{3 x^{2} + 6 x}} d x$

Etapa 1.1.3

Fatore $2$ de $2 (x) + 2 (1)$ .

$\int \frac{2 (x + 1)}{\sqrt{3 x^{2} + 6 x}} d x$

Etapa 1.2

Fatore $3 x$ de $3 x^{2} + 6 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Fatore $3 x$ de $3 x^{2}$ .

$\int \frac{2 (x + 1)}{\sqrt{3 x (x) + 6 x}} d x$

Etapa 1.2.2

Fatore $3 x$ de $6 x$ .

$\int \frac{2 (x + 1)}{\sqrt{3 x (x) + 3 x (2)}} d x$

Etapa 1.2.3

Fatore $3 x$ de $3 x (x) + 3 x (2)$ .

$\int \frac{2 (x + 1)}{\sqrt{3 x (x + 2)}} d x$

Etapa 2

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int \frac{x + 1}{\sqrt{3 x (x + 2)}} d x$

Etapa 3

Deixe $u = 3 x (x + 2)$ . Depois, $d u = (6 x + 6) d x$ , então, $\frac{1}{6} d u = (x + 1) d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Deixe $u = 3 x (x + 2)$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Diferencie $3 x (x + 2)$ .

$\frac{d}{d x} [3 x (x + 2)]$

Etapa 3.1.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x (x + 2)$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x (x + 2)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x (x + 2)]$

Etapa 3.1.3

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = x + 2$ .

$3 (x \frac{d}{d x} [x + 2] + (x + 2) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.1.4

Diferencie.

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Etapa 3.1.4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$3 (x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 2) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 (x (1 + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 2) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.1.4.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 (x (1 + 0) + (x + 2) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.1.4.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.1.4.4.1

Some $1$ e $0$ .

$3 (x \cdot 1 + (x + 2) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.1.4.4.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$3 (x + (x + 2) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.1.4.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 (x + (x + 2) \cdot 1)$

Etapa 3.1.4.6

Simplifique somando os termos.

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Etapa 3.1.4.6.1

Multiplique $x + 2$ por $1$ .

$3 (x + x + 2)$

Etapa 3.1.4.6.2

Some $x$ e $x$ .

$3 (2 x + 2)$

Etapa 3.1.5

Simplifique.

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Etapa 3.1.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 (2 x) + 3 \cdot 2$

Etapa 3.1.5.2

Combine os termos.

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Etapa 3.1.5.2.1

Multiplique $2$ por $3$ .

$6 x + 3 \cdot 2$

Etapa 3.1.5.2.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$6 x + 6$

Etapa 3.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$2 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{6} d u$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{u}}$ por $\frac{1}{6}$ .

$2 \int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 6} d u$

Etapa 4.2

Mova $6$ para a esquerda de $\sqrt{u}$ .

$2 \int \frac{1}{6 \sqrt{u}} d u$

Etapa 5

Como $\frac{1}{6}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{6}$ para fora da integral.

$2 (\frac{1}{6} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Etapa 6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Combine $\frac{1}{6}$ e $2$ .

$\frac{2}{6} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Etapa 6.1.2

Cancele o fator comum de $2$ e $6$ .

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Etapa 6.1.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (1)}{6} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Etapa 6.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.1.2.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Etapa 6.1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Etapa 6.1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Etapa 6.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 6.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Etapa 6.2.2

Mova $u^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\frac{1}{3} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Etapa 6.2.3

Multiplique os expoentes em ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 6.2.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Etapa 6.2.3.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\frac{1}{3} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Etapa 6.2.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{3} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Reescreva $\frac{1}{3} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ como $\frac{1}{3} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$\frac{1}{3} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Etapa 8.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $2$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{1}{2}} + C$

Etapa 9

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x (x + 2)$ .

$\frac{2}{3} {(3 x (x + 2))}^{\frac{1}{2}} + C$