Cálculo Exemplos

$x \cdot \ln (x)$

Etapa 1

Escreva $x \cdot \ln (x)$ como uma função.

$f (x) = x \cdot \ln (x)$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int x \cdot \ln (x) d x$

Etapa 4

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \ln (x)$ e $d v = x$ .

$\ln (x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$\ln (x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x$

Etapa 5.2

Combine $\ln (x)$ e $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x$

Etapa 6

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Combine $x^{2}$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{x} d x)$

Etapa 7.2

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x$ .

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Etapa 7.2.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x} d x)$

Etapa 7.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 7.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x^{1}} d x)$

Etapa 7.2.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x)$

Etapa 7.2.2.3

Cancele o fator comum.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x)$

Etapa 7.2.2.4

Reescreva a expressão.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x}{1} d x)$

Etapa 7.2.2.5

Divida $x$ por $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x d x)$

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int x d x$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Etapa 9

Simplifique a resposta.

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Etapa 9.1

Reescreva $\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ como $\frac{1}{2} \ln (x) x^{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

$\frac{1}{2} \ln (x) x^{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

Etapa 9.2

Simplifique.

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Etapa 9.2.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $\ln (x)$ .

$\frac{\ln (x)}{2} x^{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

Etapa 9.2.2

Combine $\frac{\ln (x)}{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

Etapa 9.2.3

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} x^{2} + C$

Etapa 9.2.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{4} x^{2} + C$

Etapa 9.3

Combine $x^{2}$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4} + C$

Etapa 9.4

Reordene os termos.

$\frac{1}{2} \ln (x) x^{2} - \frac{1}{4} x^{2} + C$

Etapa 10

A resposta é a primitiva da função $f (x) = x \cdot \ln (x)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} \ln (x) x^{2} - \frac{1}{4} x^{2} + C$